オペレーションズ・リサーチの問題

ある駅の構内に、現金自動預払機（ATM）が $1$ 台だけ設置されている。利用客は到着率 $\lambda =12$（人/時）のポアソン過程に従って到着し、$1$ 人あたりの利用時間は平均 $4$ 分の指数分布に従う。客は $1$ 列に並んで先着順に利用し、待ち行列の長さに制限はない。この待ち行列を M/M/1 とみなし、定常状態を考える。

客が到着してから ATM の利用を始めるまでの平均待ち時間 $W_q$ は何分か。

あるコーヒースタンドには店員が $1$ 人だけいて、客を $1$ 列に並ばせ、先着順に $1$ 人ずつ注文を受けて商品を渡す。客は到着率 $\lambda =12$（人/時）のポアソン過程に従って到着し、$1$ 人あたりのサービス時間は互いに独立に平均 $4$ 分の指数分布に従う。待ち行列の長さに上限はなく、到着した客は必ず列に並ぶものとする。この系を M/M/1 待ち行列とみなすとき、定常状態において、客がサービスを受け始めるまでに列で待つ時間の平均 $W_q$ は何分か。

あるセルフ洗車場には洗車機が $2$ 台ある。車は到着率 $\lambda =6$（台/時）のポアソン過程に従って到着する。車は $1$ 列に並び、空いた洗車機から先着順に使う。$1$ 台あたりの洗車時間は、互いに独立に平均 $10$ 分の指数分布に従う。この系を M/M/2 待ち行列とみなすとき、定常状態における車 $1$ 台あたりの平均系内滞在時間 $W$（待ち時間と洗車時間の合計の平均）は何分か。

ある図書館には自動貸出機が $2$ 台ある。利用者は到着率 $\lambda =8$（人/時）のポアソン過程に従って到着する。利用者は $1$ 列に並び、空いた貸出機から先着順に使う。$1$ 人あたりの利用時間は、互いに独立に平均 $12$ 分（すなわちサービス率 $\mu =5$（人/時））の指数分布に従う。この待ち行列を M/M/2 とみなし、定常状態における利用者 $1$ 人あたりの平均系内滞在時間 $W$（並んで待つ時間と貸出機を使う時間の和の平均）を、時間を単位として求めよ。

ある駅の券売機コーナーには券売機が $2$ 台ある。

• 客は到着率 $\lambda =1$（人/分）のポアソン過程に従って到着する。
• 客は $1$ 列に並び、空いた券売機を先着順に使う。
• $1$ 人が券売機を使う時間は、互いに独立に平均 $1.5$ 分の指数分布に従う。

この系を M/M/2 待ち行列とみなし、定常状態を考える。客が到着してから券を買い終えて券売機を離れるまでの平均系内滞在時間 $W$（分）を求めよ。