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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある図書館には自動貸出機が $2$ 台ある。利用者は到着率 $λ = 8$ （人/時）のポアソン過程に従って到着する。利用者は $1$ 列に並び、空いた貸出機から先着順に使う。 $1$ 人あたりの利用時間は、互いに独立に平均 $12$ 分（すなわちサービス率 $μ = 5$ （人/時））の指数分布に従う。この待ち行列を M/M/2 とみなし、定常状態における利用者 $1$ 人あたりの平均系内滞在時間 $W$ （並んで待つ時間と貸出機を使う時間の和の平均）を、時間を単位として求めよ。

この問題で使うもの

M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

M/M/c 待ち行列（ $c = 2$ ）の公式を使う。まず $a = λ / μ$ と $ρ = λ / (c μ)$ を求め、定常確率 $p_{0}$ を計算する。

ヒント 2

$p_{0} = [\sum_{n = 0}^{c - 1} \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}$ 、 $L_{q} = \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )} p_{0} \cdot \frac{ρ}{1 - ρ}$ 、 $W_{q} = L_{q} / λ$ 、 $W = W_{q} + 1/ μ$ を順に使う。

ヒント 3

$a = \frac{8}{5}$ , $ρ = \frac{4}{5}$ より $p_{0} = \frac{1}{9}$ 、待つ確率は $\frac{32}{45}$ 、 $L_{q} = \frac{128}{45}$ となる。ここからリトルの公式で $W_{q}$ を出し、 $\frac{1}{μ}$ を足す。

答えと解説

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\frac{5}{9}

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解説を読む

M/M/c の公式を $c = 2$ で使う。

手順 1：トラフィック密度と利用率
$a = \frac{λ}{μ} = \frac{8}{5}, ρ = \frac{a}{c} = \frac{λ}{c μ} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} .$
$ρ < 1$ なので定常状態が存在する。

手順 2：定常確率 $p_{0}$
$p_{0} = [n = 0 \sum c - 1 \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1} .$
$c = 2$ では
$n = 0 \sum 1 \frac{a ^{n}}{n !} = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}, \frac{a ^{2}}{2 ! ( 1 - ρ )} = \frac{\frac{64}{25}}{2 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{64}{25} \cdot \frac{5}{2} = \frac{32}{5} .$
よって
$p_{0} = (\frac{13}{5} + \frac{32}{5})^{- 1} = (9)^{- 1} = \frac{1}{9} .$

手順 3：利用者が待つ確率（2 台とも使用中の確率）
$P (wait) = \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )} p_{0} = \frac{32}{5} \cdot \frac{1}{9} = \frac{32}{45} .$

手順 4：平均待ち行列長 $L_{q}$
$L_{q} = P (wait) \cdot \frac{ρ}{1 - ρ} = \frac{32}{45} \cdot \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}} = \frac{32}{45} \cdot 4 = \frac{128}{45} .$

手順 5：平均待ち時間 $W_{q}$ （リトルの公式）
$W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = \frac{128}{45} \cdot \frac{1}{8} = \frac{16}{45} (時間) .$

手順 6：平均系内滞在時間 $W$
$W = W_{q} + \frac{1}{μ} = \frac{16}{45} + \frac{1}{5} = \frac{16}{45} + \frac{9}{45} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9} (時間) .$

（確認：M/M/2 では $W = \frac{1}{μ ( 1 - ρ ^{2} )} = \frac{1}{5 ( 1 - \frac{16}{25} )} = \frac{1}{\frac{9}{5}} = \frac{5}{9}$ となり一致する。）

したがって $W = \frac{5}{9}$ 時間（約 $33.3$ 分）である。

別解

M/M/2 で $λ = 8$ , $μ = 5$ , $c = 2$ とする。

$a = λ / μ = 8/5$ 、 $ρ = λ / (c μ) = 8/10 = 4/5 < 1$ なので定常状態が存在する。

空き状態の確率 $P_{0}$ は
$P_{0} = [\sum_{k = 0}^{1} \frac{a ^{k}}{k !} + \frac{a ^{2}}{2 ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}$
$= [1 + \frac{8}{5} + \frac{64/25}{2 \cdot ( 1/5 )}]^{- 1}$

ここで $\frac{64/25}{2/5} = \frac{64}{25} \cdot \frac{5}{2} = \frac{32}{5}$ なので、
$P_{0} = [1 + \frac{8}{5} + \frac{32}{5}]^{- 1} = [\frac{45}{5}]^{- 1} = \frac{1}{9}$ 。

待ち行列長 $L_{q}$ は
$L_{q} = \frac{P _{0} a ^{2} ρ}{2 ! ( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{( 64/25 ) ( 4/5 )}{2 \cdot ( 1/25 )}$

分子は $256/125$ 、分母は $2/25$ なので、
$\frac{256/125}{2/25} = \frac{256}{125} \cdot \frac{25}{2} = \frac{128}{5}$ 。
よって $L_{q} = \frac{128}{45}$ 。

リトルの法則より $W_{q} = L_{q} / λ = \frac{128}{45 \cdot 8} = \frac{16}{45}$ 時間。

平均系内滞在時間は $W = W_{q} + 1/ μ = \frac{16}{45} + \frac{1}{5} = \frac{16}{45} + \frac{9}{45} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$ 時間。

検算: M/M/2 の公式 $W = \frac{1}{μ} \cdot \frac{1}{1 - ρ ^{2}}$ を用いると、
$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 - 16/25} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{9} = \frac{5}{9}$ 。一致する。

答え: $W = 5/9$ 時間（約 33.3 分）。

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