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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある駅の券売機コーナーには券売機が $2$ 台ある。

客は到着率 $λ = 1$ （人/分）のポアソン過程に従って到着する。
客は $1$ 列に並び、空いた券売機を先着順に使う。
$1$ 人が券売機を使う時間は、互いに独立に平均 $1.5$ 分の指数分布に従う。

この系を M/M/2 待ち行列とみなし、定常状態を考える。客が到着してから券を買い終えて券売機を離れるまでの平均系内滞在時間 $W$ （分）を求めよ。

この問題で使うもの

M/M/c 待ち行列（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

M/M/c 待ち行列の公式を使います。まず $c = 2$ 、 $λ$ 、 $μ$ を読み取り、 $a = λ / μ$ と $ρ = a / c$ を計算しましょう。

ヒント 2

$p_{0} = [\sum_{n = 0}^{c - 1} \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}$ を使います。次に、待つ確率 $\frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )} p_{0}$ から $L_{q} = P (wait) \frac{ρ}{1 - ρ}$ を求め、 $W = \frac{L _{q}}{λ} + \frac{1}{μ}$ とします。

ヒント 3

$μ = \frac{2}{3}$ 、 $a = \frac{3}{2}$ 、 $ρ = \frac{3}{4}$ です。これから $p_{0} = \frac{1}{7}$ 、待つ確率 $\frac{9}{14}$ 、 $L_{q} = \frac{27}{14}$ が得られます。あとは $W_{q}$ と $\frac{1}{μ}$ を足しましょう。

答えと解説

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\frac{24}{7}

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解説を読む

1. パラメータを求める

窓口の数： $c = 2$
到着率： $λ = 1$ （人/分）
1 台あたりのサービス率： $μ = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$ （人/分）

$a = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{2}, ρ = \frac{a}{c} = \frac{3}{4} < 1$

$ρ < 1$ なので定常状態が存在する。

2. 定常確率 $p_{0}$ を求める

M/M/c の公式は
$p_{0} = [n = 0 \sum c - 1 \frac{a ^{n}}{n !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1}$
である。 $c = 2$ では
$n = 0 \sum 1 \frac{a ^{n}}{n !} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}, \frac{a ^{2}}{2 ! ( 1 - ρ )} = \frac{\frac{9}{4}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{9}{2}$
となるので
$p_{0} = (\frac{5}{2} + \frac{9}{2})^{- 1} = \frac{1}{7}$

3. 客が待つ確率を求める

到着した客が待つのは、系内人数が $c = 2$ 以上のときである。その確率は
$P (wait) = \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )} p_{0} = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{7} = \frac{9}{14}$

4. $L_{q}$ と $W_{q}$ を求める

平均待ち行列長は
$L_{q} = P (wait) \cdot \frac{ρ}{1 - ρ} = \frac{9}{14} \cdot \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{9}{14} \cdot 3 = \frac{27}{14}$
である。リトルの公式 $L_{q} = λ W_{q}$ より
$W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = \frac{27}{14} (分)$

5. $W$ を求める

$W = W_{q} + \frac{1}{μ} = \frac{27}{14} + \frac{3}{2} = \frac{27}{14} + \frac{21}{14} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7} (分)$

（検算： $L = L_{q} + a = \frac{27}{14} + \frac{21}{14} = \frac{24}{7}$ であり、 $W = \frac{L}{λ} = \frac{24}{7}$ と一致する。）

したがって $W = \frac{24}{7}$ 分（約 $3.4$ 分）である。

別解

M/M/2 待ち行列として解く。到着率 $λ = 1$ 、サービス率 $μ = 1/1.5 = 2/3$ （人/分/台）、 $c = 2$ とする。

提供負荷は $a = λ / μ = 3/2$ 、利用率は $ρ = a / c = 3/4 < 1$ なので定常状態が存在する。

空の確率は
$P_{0} = [\sum_{k = 0}^{c - 1} \frac{a ^{k}}{k !} + \frac{a ^{c}}{c ! ( 1 - ρ )}]^{- 1} = [1 + \frac{3}{2} + \frac{9/4}{2 \cdot 1/4}]^{- 1} = [1 + 1.5 + 4.5]^{- 1} = \frac{1}{7}$ 。

平均待ち行列長は
$L_{q} = \frac{P _{0} a ^{c} ρ}{c ! ( 1 - ρ ) ^{2}} = \frac{\frac{1}{7} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4}}{2 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{27/16}{1/8} = \frac{27}{14}$ 。

リトルの法則より平均待ち時間は $W_{q} = L_{q} / λ = \frac{27}{14}$ 分。

平均系内滞在時間は待ち時間と平均サービス時間の和なので
$W = W_{q} + \frac{1}{μ} = \frac{27}{14} + \frac{3}{2} = \frac{27}{14} + \frac{21}{14} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$ 分。

検算： $L = L_{q} + a = \frac{27}{14} + \frac{21}{14} = \frac{24}{7}$ で、 $W = L / λ = \frac{24}{7}$ となり一致する。また、 $ρ = 3/4$ の M/M/2 の既知式 $L = \frac{2 ρ}{1 - ρ ^{2}} = \frac{1.5}{7/16} = \frac{24}{7}$ とも一致する。

よって $W = \frac{24}{7} \approx 3.43$ 分。

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