オペレーションズ・リサーチの問題

ある工場に同じ型の機械が $2$ 台あり、修理係が $1$ 人いる。各機械は、動いている間、故障率 $\frac{1}{2}$（回/日）で互いに独立に故障する。つまり、動いている時間は平均 $2$ 日の指数分布に従う。故障した機械は修理係が $1$ 台ずつ修理する。修理時間は平均 $\frac{1}{2}$ 日の指数分布に従う（修理率 $2$（台/日））。修理中でない故障機械は待つ。

時刻 $t$ に故障している機械の台数を $X(t)$ とする。$X(t)$ は状態 $0,1,2$ をとる出生死滅過程である。状態 $n$ からの「出生率」（故障が起こる率）は ${\lambda }_n=(2-n)\cdot \frac{1}{2}$、「死滅率」（修理が終わる率）は ${\mu }_n=2(n=1,2)$ である。

十分長い時間がたった後（定常状態）に、$2$ 台とも故障している確率 $p_2$ を求めよ。

ある工場に機械が $2$ 台あり、修理係が $1$ 人いる。稼働中の機械は、それぞれ互いに独立に、平均 $1$ 時間の指数分布に従う時間だけ動いた後に故障する（$1$ 台あたりの故障率は $1$（回/時））。故障した機械は修理係が $1$ 台ずつ修理し、修理時間は平均 $30$ 分の指数分布に従う（修理率 $2$（台/時））。修理中にもう $1$ 台が故障したときは、その機械は修理を待つ。修理が終わった機械はすぐに稼働を再開する。

故障している機械の台数（修理中と修理待ちの合計）を状態 $n(n=0,1,2)$ とする出生死滅過程を考える。定常状態において、$2$ 台とも故障している確率 $p_2$ を求めよ。

あるセルフ洗車場には洗車機が $2$ 台ある。車は到着率 $\lambda =6$（台/時）のポアソン過程に従って到着する。車は $1$ 列に並び、空いた洗車機から先着順に使う。$1$ 台あたりの洗車時間は、互いに独立に平均 $10$ 分の指数分布に従う。この系を M/M/2 待ち行列とみなすとき、定常状態における車 $1$ 台あたりの平均系内滞在時間 $W$（待ち時間と洗車時間の合計の平均）は何分か。

ある駅の券売機コーナーには券売機が $2$ 台ある。

• 客は到着率 $\lambda =1$（人/分）のポアソン過程に従って到着する。
• 客は $1$ 列に並び、空いた券売機を先着順に使う。
• $1$ 人が券売機を使う時間は、互いに独立に平均 $1.5$ 分の指数分布に従う。

この系を M/M/2 待ち行列とみなし、定常状態を考える。客が到着してから券を買い終えて券売機を離れるまでの平均系内滞在時間 $W$（分）を求めよ。

ある図書館には自動貸出機が $2$ 台ある。利用者は到着率 $\lambda =8$（人/時）のポアソン過程に従って到着する。利用者は $1$ 列に並び、空いた貸出機から先着順に使う。$1$ 人あたりの利用時間は、互いに独立に平均 $12$ 分（すなわちサービス率 $\mu =5$（人/時））の指数分布に従う。この待ち行列を M/M/2 とみなし、定常状態における利用者 $1$ 人あたりの平均系内滞在時間 $W$（並んで待つ時間と貸出機を使う時間の和の平均）を、時間を単位として求めよ。