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オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある工場に同じ型の機械が $2$ 台あり、修理係が $1$ 人いる。各機械は、動いている間、故障率 $\frac{1}{2}$ （回/日）で互いに独立に故障する。つまり、動いている時間は平均 $2$ 日の指数分布に従う。故障した機械は修理係が $1$ 台ずつ修理する。修理時間は平均 $\frac{1}{2}$ 日の指数分布に従う（修理率 $2$ （台/日））。修理中でない故障機械は待つ。

時刻 $t$ に故障している機械の台数を $X (t)$ とする。 $X (t)$ は状態 $0, 1, 2$ をとる出生死滅過程である。状態 $n$ からの「出生率」（故障が起こる率）は $λ_{n} = (2 - n) \cdot \frac{1}{2}$ 、「死滅率」（修理が終わる率）は $μ_{n} = 2 (n = 1, 2)$ である。

十分長い時間がたった後（定常状態）に、 $2$ 台とも故障している確率 $p_{2}$ を求めよ。

この問題で使うもの

出生死滅過程の定常分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

出生死滅過程の定常分布の求め方を使う。隣り合う状態の間で成り立つ平衡方程式 $λ_{n} p_{n} = μ_{n + 1} p_{n + 1}$ を立て、すべての $p_{n}$ を $p_{0}$ で表そう。

ヒント 2

$λ_{0} = 1, λ_{1} = \frac{1}{2}, μ_{1} = μ_{2} = 2$ である。これより $p_{1} = \frac{λ _{0}}{μ _{1}} p_{0}$ 、 $p_{2} = \frac{λ _{1}}{μ _{2}} p_{1}$ となる。

ヒント 3

$p_{1} = \frac{1}{2} p_{0}$ 、 $p_{2} = \frac{1}{8} p_{0}$ である。あとは $p_{0} + p_{1} + p_{2} = 1$ から $p_{0}$ を決めればよい。

答えと解説

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\frac{1}{13}

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解説を読む

手順 1：各状態での率を書き出す。

状態 $n$ （故障台数）では、動いている機械は $2 - n$ 台ある。したがって、故障が起こる率と修理が終わる率は次のとおりである。
$λ_{0} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1, λ_{1} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, μ_{1} = μ_{2} = 2$

手順 2：平衡方程式を立てる。

定常状態では、隣り合う状態 $n$ と $n + 1$ の間の流れがつり合う。つまり $λ_{n} p_{n} = μ_{n + 1} p_{n + 1}$ が成り立つ。
$λ_{0} p_{0} = μ_{1} p_{1} \Rightarrow 1 \cdot p_{0} = 2 p_{1} \Rightarrow p_{1} = \frac{1}{2} p_{0}$
$λ_{1} p_{1} = μ_{2} p_{2} \Rightarrow \frac{1}{2} p_{1} = 2 p_{2} \Rightarrow p_{2} = \frac{1}{4} p_{1} = \frac{1}{8} p_{0}$

手順 3：確率の和が 1 であることを使う。

$p_{0} + p_{1} + p_{2} = p_{0} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8}) = \frac{13}{8} p_{0} = 1$
よって $p_{0} = \frac{8}{13}$ である。これを手順 2 の式に代入する。
$p_{1} = \frac{4}{13}, p_{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{13} = \frac{1}{13}$

確認すると、 $\frac{8}{13} + \frac{4}{13} + \frac{1}{13} = 1$ となり、和は $1$ である。

したがって、 $2$ 台とも故障している確率は $p_{2} = \frac{1}{13}$ である。

別解

出生死滅過程の詳細つり合い式 $p_{n} λ_{n} = p_{n + 1} μ_{n + 1}$ を使う。
$λ_{0} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ 、 $λ_{1} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 、 $μ_{1} = μ_{2} = 2$ 。
$p_{1} = p_{0} λ_{0} / μ_{1} = \frac{1}{2} p_{0}$ 、 $p_{2} = p_{1} λ_{1} / μ_{2} = \frac{1}{2} p_{0} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} p_{0}$ 。
正規化は $p_{0} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8}) = p_{0} \cdot \frac{13}{8} = 1$ より $p_{0} = \frac{8}{13}$ 。
よって $p_{1} = \frac{4}{13}$ 、 $p_{2} = \frac{1}{13}$ 。
検算: $p_{0} + p_{1} + p_{2} = \frac{8 + 4 + 1}{13} = 1$ 。状態 0 の流出入 $p_{0} \cdot 1 = \frac{8}{13}$ 、 $p_{1} \cdot 2 = \frac{8}{13}$ で一致。状態 2 は $p_{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{13}$ 、 $p_{2} \cdot 2 = \frac{2}{13}$ で一致。

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