最大値・最小値の分布（順序統計量）

$X_1,X_2,X_3$ は互いに独立で、いずれも区間 $(0,2)$ 上の一様分布に従う確率変数とする。$M=\max \{X_1,X_2,X_3\}$ とおくとき、$M$ の期待値 $E(M)$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,X_4$ は互いに独立で、いずれも区間 $[0,2]$ 上の一様分布に従うとする。$M=\max \{X_1,X_2,X_3,X_4\}$ とおくとき、$M$ の期待値 $E(M)$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,X_4$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,2]$ 上の一様分布に従うとする。これらの最大値を
$$M=\max \{X_1,X_2,X_3,X_4\}$$
とおく。$M$ の期待値 $E(M)$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$\theta$ の 2 つの推定量
$${\hat{\theta }}_1=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,{\hat{\theta }}_2=M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$$
を考える。推定量 $\hat{\theta }$ の平均二乗誤差を ${\mathrm{MSE}}_{\theta }(\hat{\theta })=E_{\theta }\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right]$ と定める。

${\hat{\theta }}_1$ は $\theta$ の不偏推定量で、${\hat{\theta }}_2$ は不偏推定量でない（バイアスが $0$ でない）にもかかわらず、すべての $\theta >0$ に対して
$${\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_2)<{\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_1)$$
が成り立つことを証明せよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定するために、$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ を検定統計量とし、定数 $c(0<c<1)$ を用いて
$$M>c\text{ のとき }{H}_0\text{ を棄却する}$$
という検定を考える。ここで $c$ は、この検定の有意水準（$H_0$ のもとで棄却する確率）がちょうど $0.1$ になるように定める。

$\theta =2$ のときの検出力（$H_0$ を棄却する確率）が $0.95$ 以上となるような最小の $n$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は正の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$0<\alpha <1$ を定数とし、帰無仮説 $H_0:\theta \le 1$、対立仮説 $H_1:\theta >1$ の検定として、
$$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\},c=(1-\alpha {)}^{1/n}$$
とおき「$M>c$ のとき $H_0$ を棄却する」検定を考える。この検定の検出力関数を $\beta (\theta )=P_{\theta }(M>c)(\theta >0)$ と定める。

このとき
$$\underset{0<\theta \le 1}{\sup }\beta (\theta )=\alpha$$
（すなわちこの検定のサイズは $\alpha$）であり、さらにすべての $\theta >1$ に対して
$$\beta (\theta )=1-\frac{1-\alpha }{{\theta }^n}>\alpha$$
が成り立つ（対立仮説のもとでの検出力は常に $\alpha$ を超える）ことを証明せよ。