数理統計の問題

手順 1：もとの分布関数を求める。
各 $X_i$ は $[0,2]$ 上の一様分布に従うので、密度は $f(x)=\frac{1}{2}(0\le x\le 2)$ である。分布関数は $0\le x\le 2$ で
$$F(x)=P(X_i\le x)={\int }_0^x\frac{1}{2}dt=\frac{x}{2}$$
となる。

手順 2：最大値の分布関数を求める。
「$M\le x$」は「4 つすべてが $x$ 以下」と同じ事象である。$X_1,\dots ,X_4$ は互いに独立なので
$$P(M\le x)=P(X_1\le x)P(X_2\le x)P(X_3\le x)P(X_4\le x)=F(x{)}^4={\left(\frac{x}{2}\right)}^4=\frac{x^4}{16}(0\le x\le 2)$$
となる。$x<0$ では $0$、$x>2$ では $1$ である。

手順 3：微分して密度を求める。
$$g(x)=\frac{d}{dx}\frac{x^4}{16}=\frac{4x^3}{16}=\frac{x^3}{4}(0\le x\le 2)$$
であり、それ以外の $x$ では $g(x)=0$ である。

手順 4：期待値を計算する。
$$E(M)={\int }_0^{2}x\cdot \frac{x^3}{4}dx=\frac{1}{4}{\int }_0^2{x}^{4}dx=\frac{1}{4}{\left[\frac{x^5}{5}\right]}_0^2=\frac{1}{4}\cdot \frac{32}{5}=\frac{8}{5}$$

1 個だけの期待値は $E(X_i)=1$ である。最大値は 4 個のうち一番大きいものなので、それより大きく、上限 $2$ に近い $\frac{8}{5}$ になる。

したがって $E(M)=\frac{8}{5}$ である。

$M$ の分布関数は、$0\le x\le 2$ で $F(x)=P(M\le x)=(x/2{)}^4$。密度は $f(x)=4x^3/16=x^3/4$。

$E(M)={\int }_0^{2}x\cdot \frac{x^3}{4}dx=\frac{1}{4}\cdot \frac{2^5}{5}=\frac{8}{5}$。

検算：$[0,1]$ 上の一様分布 $n$ 個の最大値の期待値は $n/(n+1)=4/5$。区間の長さが 2 倍なので $2\cdot 4/5=8/5$。一致する。