数理統計の問題

手順 1：1 つの $X_i$ の分布関数を求める。

$X_i$ は $(0,2)$ 上の一様分布に従うので、密度は $0<x<2$ で $\frac{1}{2}$ です。よって $0\le x\le 2$ のとき
$$F(x)=P(X_i\le x)={\int }_0^x\frac{1}{2}dt=\frac{x}{2}$$
です。

手順 2：最大値 $M$ の分布関数を求める。

「$M\le x$」は「$X_1\le x$ かつ $X_2\le x$ かつ $X_3\le x$」と同じ事象です。$X_1,X_2,X_3$ は互いに独立なので、確率は積になり、$0\le x\le 2$ のとき
$$P(M\le x)=P(X_1\le x)P(X_2\le x)P(X_3\le x)=F(x{)}^3={\left(\frac{x}{2}\right)}^3=\frac{x^3}{8}$$
となります。

手順 3：微分して $M$ の密度を求める。

$0<x<2$ のとき
$$f_M(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{8}\right)=\frac{3x^2}{8}$$
であり、それ以外では $f_M(x)=0$ です。（確認：${\int }_0^2\frac{3x^2}{8}dx=\frac{8}{8}=1$。）

手順 4：期待値を計算する。
$$E(M)={\int }_0^{2}x\cdot \frac{3x^2}{8}dx=\frac{3}{8}{\int }_0^2{x}^{3}dx=\frac{3}{8}{\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=\frac{3}{8}\cdot 4=\frac{3}{2}$$

したがって $E(M)=\frac{3}{2}$ です。1 つの $X_i$ の期待値 $1$ より大きくなっており、最大値をとっているので妥当です。

M の分布関数は、$0\le m\le 2$ で $F(m)=P(M\le m)=(m/2{)}^3=m^3/8$ である。
密度関数は $f(m)=3m^2/8$（$0<m<2$）となる。
期待値は $E(M)={\int }_0^{2}m\cdot \frac{3m^2}{8}dm=\frac{3}{8}\cdot \frac{m^4}{4}{|}_0^2=\frac{3}{8}\cdot 4=\frac{3}{2}$。
検算：$U_i=X_i/2$ は $(0,1)$ 上の一様分布で、その最大値の期待値は $n/(n+1)=3/4$。よって $E(M)=2\cdot 3/4=3/2$ となり、一致する。