統計的な推測の問題

36 回のうち 3 の倍数の目（3 または 6）が出る回数を $X$ とする。1 回の試行で 3 の倍数の目が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ であり、各回の試行は独立である。よって $X$ は二項分布 $B\left(36,\frac{1}{3}\right)$ に従う。

二項分布の期待値と分散の公式から
$$E(X)=36\cdot \frac{1}{3}=12,V(X)=36\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=8$$
である。

3 の倍数の目が $X$ 回、それ以外の目が $36-X$ 回出るので、$\mathrm{P}$ の座標は
$$Z=3X-(36-X)=4X-36$$
と表される。$Z=aX+b$ の形であるから
$$E(Z)=4E(X)-36=4\cdot 12-36=12,$$
$$V(Z)=4^{2}V(X)=16\cdot 8=128$$
となる。

分散の公式 $V(Z)=E(Z^2)-\{E(Z){\}}^2$ より
$$E(Z^2)=V(Z)+\{E(Z){\}}^2=128+12^2=128+144=272$$
である。

したがって $E(Z^2)=272$ である。

1回の操作での移動量 $X$ は、確率 $\frac{1}{3}$ で $+3$、確率 $\frac{2}{3}$ で $-1$ である。
3 の倍数の目が出る回数を $K$ とすると、$K$ は二項分布 $B(36,\frac{1}{3})$ に従い、$Z=3K-(36-K)=4K-36$ と表せる。
$E(K)=36\cdot \frac{1}{3}=12$、$V(K)=36\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=8$。
よって $E(Z)=4\cdot 12-36=12$、$V(Z)=16\cdot 8=128$。
$E(Z^2)=V(Z)+E(Z{)}^2=128+144=272$。
検算: 1回あたり $E(X)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$、$E(X^2)=\frac{9}{3}+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$、$V(X)=\frac{11}{3}-\frac{1}{9}=\frac{32}{9}$。36回で平均 $12$、分散 $36\cdot \frac{32}{9}=128$ となり一致する。