この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

統計的な推測の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学B 統計的な推測

袋の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $3$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を $n$ 回繰り返す（ $n$ は正の整数）。赤玉が出た回数を $X$ とする。 $X$ の分散が $V (X) = 6$ であるとき、 $X^{2}$ の期待値 $E (X^{2})$ を求めよ。

この問題で使うもの

二項分布（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$X$ がどのような確率分布に従うかを考えましょう。玉を毎回戻すので、各回の試行は独立です。

ヒント 2

二項分布 $B (n, p)$ では $E (X) = n p$ 、 $V (X) = n p (1 - p)$ です。また $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ が成り立ちます。

ヒント 3

$X$ は $B (n, \frac{2}{5})$ に従うので $V (X) = \frac{6 n}{25} = 6$ から $n = 25$ 、 $E (X) = 10$ です。あとは分散の公式を変形して使います。

答えと解説

答えを見る

106

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1 回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{2}{5}$ です。玉は毎回袋に戻すので、各回の試行は独立です。したがって $X$ は二項分布 $B (n, \frac{2}{5})$ に従います。

$n$ を求める

二項分布 $B (n, p)$ の分散は $n p (1 - p)$ なので
$V (X) = n \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6 n}{25}$
です。 $V (X) = 6$ より $\frac{6 n}{25} = 6$ となり、 $n = 25$ です。

期待値を求める

$E (X) = n p = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10$

$E (X^{2})$ を求める

分散の公式 $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ を変形すると
$E (X^{2}) = V (X) + {E (X)}^{2} = 6 + 1 0^{2} = 106$
となります。

したがって $E (X^{2}) = 106$ です。

別解

1回の試行で赤玉が出る確率は $p = \frac{2}{5}$ であり、 $X$ は二項分布 $B (n, \frac{2}{5})$ に従う。
分散は $V (X) = n p (1 - p) = n \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6 n}{25}$ である。
$V (X) = 6$ より $n = 25$ 。
期待値は $E (X) = n p = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10$ 。
$E (X^{2}) = V (X) + {E (X)}^{2} = 6 + 100 = 106$ 。
検算： $E (X^{2}) = n p (1 - p) + n^{2} p^{2} = 6 + 100 = 106$ となり一致する。

統計的な推測の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題