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統計的な推測の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学B 統計的な推測

袋の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $3$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を $25$ 回繰り返す。赤玉を取り出すたびに $3$ 点を得て、白玉を取り出すたびに $1$ 点を失う。 $25$ 回の試行を終えたときの合計得点を $Y$ とする（ $Y$ は負の値もとりうる）。このとき、 $Y^{2}$ の期待値 $E (Y^{2})$ を求めよ。

この問題で使うもの

二項分布（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

赤玉を取り出す回数を $X$ とおくと、 $X$ はどのような確率分布に従うかを考えましょう。また、合計得点 $Y$ を $X$ の式で表しましょう。

ヒント 2

$X$ が $B (n, p)$ に従うとき $E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ です。さらに $E (a X + b) = a E (X) + b$ , $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ , $V (Y) = E (Y^{2}) - {E (Y)}^{2}$ を使います。

ヒント 3

$X$ は $B (25, \frac{2}{5})$ に従うので $E (X) = 10$ , $V (X) = 6$ です。また $Y = 4 X - 25$ と表せます。ここから $E (Y)$ と $V (Y)$ を求めましょう。

答えと解説

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321

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解説を読む

赤玉を取り出す回数を $X$ とする。各試行で赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{5}$ で、試行は玉を戻すので互いに独立である。したがって $X$ は二項分布 $B (25, \frac{2}{5})$ に従う。

よって
$E (X) = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10, V (X) = 25 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = 6$

白玉を取り出す回数は $25 - X$ であるから、合計得点は
$Y = 3 X - (25 - X) = 4 X - 25$

したがって
$E (Y) = 4 E (X) - 25 = 4 \cdot 10 - 25 = 15$
$V (Y) = 4^{2} V (X) = 16 \cdot 6 = 96$

分散の公式 $V (Y) = E (Y^{2}) - {E (Y)}^{2}$ より
$E (Y^{2}) = V (Y) + {E (Y)}^{2} = 96 + 1 5^{2} = 96 + 225 = 321$

答えは $321$ である。

別解

赤玉の個数を $X$ とすると $X \sim B (25, 2/5)$ 。得点は $Y = 3 X - (25 - X) = 4 X - 25$ 。
$E (X) = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10$ 、 $V (X) = 25 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = 6$ 。
$E (Y) = 4 \cdot 10 - 25 = 15$ 、 $V (Y) = 16 \cdot 6 = 96$ 。
$E (Y^{2}) = V (Y) + E (Y)^{2} = 96 + 225 = 321$ 。
検算： $E (X^{2}) = 6 + 100 = 106$ 、 $E (Y^{2}) = 16 \cdot 106 - 200 \cdot 10 + 625 = 1696 - 2000 + 625 = 321$ 。一致。

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