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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

$1, 2, 3, 4$ の数字が $1$ つずつ書かれた $4$ 枚のカードが入った袋から $1$ 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、これとは別に $1$ 枚の硬貨を $1$ 回投げ、表が出たら $Y = 1$ 、裏が出たら $Y = 0$ とする。このとき、確率変数 $X + Y$ の分散 $V (X + Y)$ を求めよ。

この問題で使うもの

確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）
確率変数の和と積（独立な場合）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$X$ と $Y$ が独立であることに注目し、独立な確率変数の和の分散の公式を使いましょう。

ヒント 2

独立なとき $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ が成り立ちます。それぞれの分散は $V = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で求められます。

ヒント 3

$E (X) = \frac{5}{2}$ , $E (X^{2}) = \frac{15}{2}$ より $V (X) = \frac{5}{4}$ 。 $Y$ についても同様に $E (Y)$ , $E (Y^{2})$ を計算します。

答えと解説

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\frac{3}{2}

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解説を読む

カードを取り出す試行と硬貨を投げる試行は互いに影響しないので、確率変数 $X$ と $Y$ は独立である。独立な確率変数については
$V (X + Y) = V (X) + V (Y)$
が成り立つので、 $V (X)$ と $V (Y)$ をそれぞれ求めればよい。

$V (X)$ を求める。 $X$ は $1, 2, 3, 4$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{4}$ でとるから
$E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{5}{2}, E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{4} = \frac{15}{2}$
よって
$V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2} = \frac{15}{2} - \frac{25}{4} = \frac{5}{4}$

$V (Y)$ を求める。 $Y$ は $0, 1$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{2}$ でとるから
$E (Y) = \frac{1}{2}, E (Y^{2}) = 0^{2} \cdot \frac{1}{2} + 1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
よって
$V (Y) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

和の分散を求める。 $X$ と $Y$ は独立なので
$V (X + Y) = V (X) + V (Y) = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$

別解

X は 1,2,3,4 を等確率でとり、Y は 0,1 を等確率でとる。カードの取り出しと硬貨投げは別々に行うので、X と Y は独立である。

E(X)=5/2、E(X^2)=(1+4+9+16)/4=30/4=15/2 より、V(X)=15/2-25/4=5/4。

E(Y)=1/2、E(Y^2)=1/2 より、V(Y)=1/2-1/4=1/4。

X と Y は独立なので、V(X+Y)=V(X)+V(Y)=5/4+1/4=3/2。

検算: X+Y は 1〜5 の値をとり、その確率は P(1)=1/8、P(2)=2/8、P(3)=2/8、P(4)=2/8、P(5)=1/8。平均は (1+4+6+8+5)/8=24/8=3。E((X+Y)^2)=(1+8+18+32+25)/8=84/8=21/2。したがって分散は 21/2-9=3/2 となり一致する。

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