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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

箱の中に、 $2, 4, 6$ の数字が 1 つずつ書かれた 3 枚のカードが入っている。この箱から 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、これとは別に 1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $Y$ とする。カードを取り出す試行とさいころを投げる試行は独立であるとする。確率変数 $X + Y$ の分散 $V (X + Y)$ を求めよ。

この問題で使うもの

確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）
確率変数の和と積（独立な場合）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「確率変数の和と積（独立な場合）」の技能を使います。2 つの試行が独立なので $X$ と $Y$ は独立です。

ヒント 2

独立な確率変数では $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ が成り立ちます。それぞれの分散は $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で求めます。

ヒント 3

$E (X) = 4$ , $E (X^{2}) = \frac{56}{3}$ より $V (X) = \frac{8}{3}$ 。 $E (Y) = \frac{7}{2}$ , $E (Y^{2}) = \frac{91}{6}$ より $V (Y) = \frac{35}{12}$ です。

答えと解説

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\frac{67}{12}

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解説を読む

方針　2 つの試行は独立なので、確率変数 $X$ と $Y$ は独立です。独立な確率変数については
$V (X + Y) = V (X) + V (Y)$
が成り立つので、 $V (X)$ と $V (Y)$ をそれぞれ求めて足せばよいです。

$V (X)$ を求める　 $X$ は $2, 4, 6$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ でとります。
$E (X) = (2 + 4 + 6) \cdot \frac{1}{3} = 4$
$E (X^{2}) = (2^{2} + 4^{2} + 6^{2}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{4 + 16 + 36}{3} = \frac{56}{3}$
よって
$V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2} = \frac{56}{3} - 16 = \frac{8}{3}$

$V (Y)$ を求める　 $Y$ は $1, 2, \dots, 6$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{6}$ でとります。
$E (Y) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$
$E (Y^{2}) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) \cdot \frac{1}{6} = \frac{91}{6}$
よって
$V (Y) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$

和の分散　 $X$ と $Y$ は独立なので
$V (X + Y) = V (X) + V (Y) = \frac{8}{3} + \frac{35}{12} = \frac{32}{12} + \frac{35}{12} = \frac{67}{12}$

答えは $\frac{67}{12}$ です。

別解

X, Y は独立なので V(X+Y)=V(X)+V(Y)。

Xは2,4,6が各確率1/3。E(X)=4、E(X^2)=(4+16+36)/3=56/3、V(X)=56/3−16=8/3。

Yはさいころの目。E(Y)=7/2、E(Y^2)=91/6、V(Y)=91/6−49/4=(182−147)/12=35/12。

V(X+Y)=8/3+35/12=32/12+35/12=67/12。

検算：X+Yの分散は独立性より和になる。V(X)は偏差(−2,0,2)の2乗平均=8/3で一致。V(Y)は偏差の2乗(25/4,9/4,1/4が各2個)平均=(35/4)/3=35/12で一致。

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