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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

母平均 $50$ 、母標準偏差 $8$ の母集団から、大きさ $16$ の無作為標本を復元抽出する。このときの標本平均 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ を求めよ。

この問題で使うもの

標本平均の分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「標本平均の分布」を使います。標本平均 $X ˉ$ の分散や標準偏差が、母標準偏差 $σ$ と標本の大きさ $n$ でどう表されるかを思い出しましょう。

ヒント 2

$V (X ˉ) = \frac{σ ^{2}}{n}$ なので、 $σ (X ˉ) = \frac{σ}{n}$ です。

ヒント 3

$σ = 8$ 、 $n = 16$ を代入すると $V (X ˉ) = \frac{64}{16}$ です。あとは標準偏差に直しましょう。

答えと解説

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2

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標本平均の分布の性質を使う

母平均 $m$ 、母標準偏差 $σ$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を復元抽出するとき、標本平均 $X ˉ$ について次が成り立つ。
$E (X ˉ) = m, V (X ˉ) = \frac{σ ^{2}}{n}, σ (X ˉ) = \frac{σ}{n}$

値を当てはめる

この問題では $m = 50$ 、 $σ = 8$ 、 $n = 16$ である。

まず分散を求める。
$V (X ˉ) = \frac{8 ^{2}}{16} = \frac{64}{16} = 4$

標準偏差は分散の正の平方根なので、
$σ (X ˉ) = 4 = 2$

$\frac{σ}{n} = \frac{8}{16} = \frac{8}{4} = 2$ と直接計算しても同じ結果になる。

（なお、期待値は $E (X ˉ) = 50$ である。 $n$ が大きいとき、 $X ˉ$ の分布は正規分布 $N (50, 2^{2})$ で近似できる。）

答えは $2$ である。

別解

標本平均の標準偏差は、母標準偏差を標本の大きさの平方根で割ったものである。したがって $σ (X ˉ) = \frac{8}{16} = \frac{8}{4} = 2$ 。検算： $V (X ˉ) = \frac{8 ^{2}}{16} = 4$ なので、標準偏差は $4 = 2$ となり一致する。

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