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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

ある工場で作られている菓子袋の重さを母集団とする。この母集団の母平均は $250 g$ 、母標準偏差は $6 g$ である。この母集団から大きさ $36$ の標本を無作為に抽出し、その標本平均を $X ˉ$ とする。標本平均 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ を求めよ（単位は $g$ とし、答えには単位を付けなくてよい）。ただし、母集団の大きさは標本の大きさに比べて十分大きく、抽出は復元抽出とみなしてよいものとする。

この問題で使うもの

標本平均の分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

標本平均 $X ˉ$ の標準偏差は、母標準偏差 $σ$ と標本の大きさ $n$ だけで決まります。

ヒント 2

公式 $σ (X ˉ) = \frac{σ}{n}$ を使います。

ヒント 3

$σ = 6$ 、 $n = 36$ なので、 $36$ を計算して $6$ をそれで割ります。

答えと解説

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1

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解説を読む

方針　母平均 $m$ 、母標準偏差 $σ$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を（復元抽出で）取り出すとき、標本平均 $X ˉ$ の期待値と標準偏差は
$E (X ˉ) = m, σ (X ˉ) = \frac{σ}{n}$
です。これは、取り出した $n$ 個の値 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ が互いに独立で、どれも平均 $m$ 、分散 $σ^{2}$ の同じ分布に従うことから導かれます。

手順 1：与えられた値を確認する
母平均は $m = 250$ 、母標準偏差は $σ = 6$ 、標本の大きさは $n = 36$ です。

手順 2：分散を考える（理由の確認）
$X ˉ = \frac{X _{1} + X _{2} + \dots + X _{36}}{36}$ で、 $X_{1}, \dots, X_{36}$ は互いに独立なので
$V (X ˉ) = \frac{1}{3 6 ^{2}} {V (X_{1}) + \dots + V (X_{36})} = \frac{36 \times 6 ^{2}}{3 6 ^{2}} = \frac{6 ^{2}}{36} = 1$

手順 3：標準偏差を求める
$σ (X ˉ) = V (X ˉ) = 1 = 1$
これは公式 $σ (X ˉ) = \frac{σ}{n} = \frac{6}{36} = \frac{6}{6} = 1$ と一致します。

したがって、 $σ (X ˉ) = 1$ です。

補足　母平均の値 $250$ は $E (X ˉ) = 250$ を与えますが、標準偏差の計算には関係しません。標本を大きくするほど、標本平均のばらつきは $\frac{1}{n}$ 倍に小さくなります。

別解

標本平均の標準偏差は $σ (X ˉ) = \frac{σ}{n}$ で求められる。母標準偏差 $σ = 6$ 、標本の大きさ $n = 36$ なので、 $σ (X ˉ) = \frac{6}{36} = \frac{6}{6} = 1$ 。検算として、分散は $E [(X ˉ - 250)^{2}] = \frac{6 ^{2}}{36} = 1$ で、その正の平方根は $1$ となり一致する。

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