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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

袋の中に、数字 $1$ が書かれた札が $1$ 枚、数字 $2$ が書かれた札が $2$ 枚、数字 $3$ が書かれた札が $1$ 枚、合計 $4$ 枚の札が入っている。この $4$ 枚の札を母集団とし、札に書かれた数字を変量とする。この袋から札を $1$ 枚取り出して数字を記録し、袋に戻すという操作を $8$ 回くり返す。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $X$ とするとき、 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ を求めよ。ただし、どの札も取り出される確率は等しいものとする。

この問題で使うもの

確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）
標本平均の分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず袋の $4$ 枚の札を母集団と考えて、母平均と母分散を求めましょう。

ヒント 2

母分散は $σ^{2} = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で求められます。標本平均の分散は $V (X) = \frac{σ ^{2}}{n}$ です。

ヒント 3

母平均は $m = 2$ 、 $E (X^{2}) = \frac{9}{2}$ なので母分散は $σ^{2} = \frac{1}{2}$ です。これを $n = 8$ で割って分散を出し、正の平方根をとりましょう。

答えと解説

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\frac{1}{4}

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解説を読む

手順 1：母集団分布を求める。

札は全部で $4$ 枚なので、 $1$ 枚取り出したときの数字を $X$ とすると、母集団分布は次のようになる。

$P (X = 1) = \frac{1}{4}, P (X = 2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, P (X = 3) = \frac{1}{4}$

手順 2：母平均 $m$ を求める。

$m = 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{4} = 2$

手順 3：母分散 $σ^{2}$ を求める。

$E (X^{2}) = 1^{2} \cdot \frac{1}{4} + 2^{2} \cdot \frac{1}{2} + 3^{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 2 + \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$

$σ^{2} = E (X^{2}) - m^{2} = \frac{9}{2} - 2^{2} = \frac{1}{2}$

手順 4：標本平均の分散と標準偏差を求める。

取り出した札を毎回袋に戻す（復元抽出）ので、 $8$ 回の数字は互いに独立で、どれも母集団分布に従う。したがって、母分散 $σ^{2}$ の母集団から大きさ $n$ の標本を取り出すときの公式

$V (X) = \frac{σ ^{2}}{n}$

が使える。 $n = 8$ より

$V (X) = \frac{\frac{1}{2}}{8} = \frac{1}{16}$

よって

$σ (X) = \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$

（なお、 $X$ の期待値は $E (X) = m = 2$ である。）

別解

母集団の分布は、数字 $1, 2, 3$ をとる確率がそれぞれ $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ である。
母平均は $m = 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{4} = 2$ 。
$E (X^{2}) = 1 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$ 。
母分散は $σ^{2} = \frac{7}{2} - 4 = \frac{1}{2}$ 、母標準偏差は $σ = \frac{1}{2}$ 。
復元抽出なので $V (X) = \frac{σ ^{2}}{8} = \frac{1}{16}$ 。
よって $σ (X) = \frac{1}{4}$ 。
検算: $σ^{2} = \frac{1}{4} (1 - 2)^{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} (3 - 2)^{2} = \frac{1}{2}$ で一致する。

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