この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

箱の中に、 $1, 2, 3, 4, 5$ の数字が 1 つずつ書かれたカードが 1 枚ずつ、合計 $5$ 枚入っている。この箱を母集団とし、カードに書かれた数字を変量とする。この箱からカードを $1$ 枚取り出して数字を記録し、もとに戻すことを $8$ 回くり返す（復元抽出）。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $X ˉ$ とするとき、 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ を求めよ。ただし、どのカードが取り出されることも同様に確からしいとする。

この問題で使うもの

母平均・母比率の区間推定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（34 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず母集団分布（カード 1 枚を取り出したときの数字の分布）の母平均と母標準偏差を求めましょう。

ヒント 2

母分散は $σ^{2} = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で求められます。標本平均の標準偏差は $σ (X ˉ) = \frac{σ}{n}$ です。

ヒント 3

母平均は $m = 3$ 、 $E (X^{2}) = 11$ なので母分散は $σ^{2} = 2$ です。あとは $n = 8$ として公式に代入します。

答えと解説

答えを見る

\frac{1}{2}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

手順 1：母集団分布を求める。
カードを 1 枚取り出したときの数字を $X$ とすると、 $X$ は $1, 2, 3, 4, 5$ の値をそれぞれ確率 $\frac{1}{5}$ でとる。

手順 2：母平均 $m$ を求める。
$m = E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$

手順 3：母分散 $σ^{2}$ を求める。
$E (X^{2}) = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2}}{5} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} = \frac{55}{5} = 11$
よって
$σ^{2} = E (X^{2}) - {E (X)}^{2} = 11 - 3^{2} = 2$
であり、母標準偏差は $σ = 2$ である。

手順 4：標本平均の標準偏差を求める。
復元抽出なので、 $8$ 回の記録 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{8}$ は互いに独立で、どれも母集団分布に従う。母平均 $m$ 、母標準偏差 $σ$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本をとるとき、標本平均 $X ˉ$ について
$E (X ˉ) = m, σ (X ˉ) = \frac{σ}{n}$
が成り立つ。 $n = 8$ を代入すると
$σ (X ˉ) = \frac{2}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

答え： $σ (X ˉ) = \frac{1}{2}$

別解

母集団の分布は、1〜5 が各確率 $\frac{1}{5}$ である。
母平均は $m = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ である。
母分散は $σ^{2} = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2}}{5} - 3^{2} = \frac{55}{5} - 9 = 2$ である。
母標準偏差は $2$ である。
復元抽出なので、標本平均の分散は $V (X ˉ) = \frac{σ ^{2}}{n} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ となる。
よって $σ (X ˉ) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ である。
検算： $σ / n = 2 / 8 = 1/4 = 1/2$ となり、一致する。

統計的な推測の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題