統計的な推測の問題

手順 1：確率分布を求める

$X$ のとりうる値は $1,2,3,4$ で、どれも確率は $\frac{1}{4}$ である。

$$\begin{array}{cccccc}X& 1& 2& 3& 4& \text{計}\\ P& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& 1\end{array}$$

手順 2：$E(X)$ を求める

$$E(X)=1\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{4}+3\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$$

手順 3：$E(X^2)$ を求める

$$E(X^2)=1^2\cdot \frac{1}{4}+2^2\cdot \frac{1}{4}+3^2\cdot \frac{1}{4}+4^2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1+4+9+16}{4}=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$$

手順 4：$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$ を使う

$$V(X)=\frac{15}{2}-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{30}{4}-\frac{25}{4}=\frac{5}{4}$$

手順 5：$V(aX+b)=a^{2}V(X)$ を使う

$Y=-2X+5$ なので $a=-2,b=5$ である。分散では定数 $b$ は関係せず、$a$ は $2$ 乗されるから

$$V(Y)=(-2{)}^{2}V(X)=4\cdot \frac{5}{4}=5$$

よって、$V(Y)=5$ である。

$X$ は $1,2,3,4$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{4}$ でとる。
$E(X)=\frac{1+2+3+4}{4}=\frac{5}{2}$
$E(X^2)=\frac{1+4+9+16}{4}=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$
$V(X)=\frac{15}{2}-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{30}{4}-\frac{25}{4}=\frac{5}{4}$
$V(aX+b)=a^{2}V(X)$ より、$V(Y)=(-2{)}^2\cdot \frac{5}{4}=5$
検算: $Y$ の値は $3,1,-1,-3$ で、平均 $0$。$E(Y^2)=\frac{9+1+1+9}{4}=5$ なので $V(Y)=5-0=5$ となり一致する。