統計的な推測の問題

並べ方は全部で $n!$ 通りあり、どれも同様に確からしい。

$X$ を和に分ける

$k=1,2,\dots ,n-1$ に対して、確率変数 $X_k$ を
$$X_k=\{\begin{array}{ll}1& (a_{k+1}=a_k+1\text{ のとき})\\ 0& (\text{それ以外のとき})\end{array}$$
と定めると
$$X=X_1+X_2+\cdots +X_{n-1}$$
である。$X_k$ は $0$ か $1$ しかとらないので $X_k^2=X_k$ であり、$E(X_k)=P(X_k=1)$、$E(X_k{X}_l)=P(X_k=1\text{ かつ }{X}_l=1)$ となる。

$E(X)$ を求める

$X_k=1$ となるのは、$k$ 番目と $k+1$ 番目に $j,j+1$（$j=1,2,\dots ,n-1$）がこの順に並ぶときである。$j$ の選び方が $n-1$ 通り、残り $n-2$ 枚の並べ方が $(n-2)!$ 通りなので
$$P(X_k=1)=\frac{(n-1)\cdot (n-2)!}{n!}=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$$
よって
$$E(X)=\sum _{k=1}^{n-1}E(X_k)=\frac{n-1}{n}$$

$E(X^2)$ を求める

$$X^2=\sum _{k=1}^{n-1}{X}_k^2+2\sum _{k<l}{X}_k{X}_l=X+2\sum _{k<l}{X}_k{X}_l$$
なので、$k<l$ のときの $P(X_k=1\text{ かつ }{X}_l=1)$ を求める。

(i) $l=k+1$ のとき（このような組 $(k,l)$ は $n-2$ 個）

$k,k+1,k+2$ 番目に $j,j+1,j+2$（$j=1,2,\dots ,n-2$）が並ぶときである。$j$ の選び方が $n-2$ 通り、残りの並べ方が $(n-3)!$ 通りなので
$$P=\frac{(n-2)\cdot (n-3)!}{n!}=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}$$

(ii) $l\geqq k+2$ のとき（このような組 $(k,l)$ は ${}_{n-1}{\mathrm{C}}_2-(n-2)=\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ 個）

$k,k+1$ 番目に $j,j+1$、$l,l+1$ 番目に $m,m+1$ が並ぶときで、$4$ 枚は異なるので $\{j,j+1\}$ と $\{m,m+1\}$ は共通部分をもたない。$j,m$ はそれぞれ $1$ 以上 $n-1$ 以下で、その順序のある組は全部で $(n-1{)}^2$ 通り。このうち $j=m$ が $n-1$ 通り、$|j-m|=1$ が $2(n-2)$ 通りあるので、条件を満たす $(j,m)$ は
$$(n-1{)}^2-(n-1)-2(n-2)=n^2-5n+6=(n-2)(n-3)\text{ 通り}$$
残り $n-4$ 枚の並べ方は $(n-4)!$ 通りなので
$$P=\frac{(n-2)(n-3)\cdot (n-4)!}{n!}=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}$$

(i)、(ii) とも確率は $\frac{1}{n(n-1)}$ である（$n=2,3$ のときは該当する組がないか少ないだけで、下の計算はそのまま成り立つ）。組 $(k,l)$（$k<l$）は全部で $(n-2)+\frac{(n-2)(n-3)}{2}=\frac{(n-2)(n-1)}{2}$ 個あるから
$$\sum _{k<l}E(X_k{X}_l)=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\cdot \frac{1}{n(n-1)}=\frac{n-2}{2n}$$
したがって
$$E(X^2)=E(X)+2\cdot \frac{n-2}{2n}=\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}=\frac{2n-3}{n}$$

分散を求める

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{2n-3}{n}-\frac{(n-1{)}^2}{n^2}=\frac{2n^2-3n-(n^2-2n+1)}{n^2}=\frac{n^2-n-1}{n^2}$$

（確認: $n=2$ のとき、並べ方は $(1,2)$ と $(2,1)$ で、$X$ は $1$ と $0$ を確率 $\frac{1}{2}$ ずつとるので $V(X)=\frac{1}{4}$。式に代入すると $\frac{4-2-1}{4}=\frac{1}{4}$ で一致する。）

よって $V(X)=\frac{n^2-n-1}{n^2}$ である。

$k=1,\dots ,n-1$ に対し、$a_{k+1}=a_k+1$ のとき $1$、そうでないとき $0$ をとる確率変数を $I_k$ とすると $X=I_1+\cdots +I_{n-1}$ である。

(1) $P(I_k=1)$: $a_k=v,a_{k+1}=v+1$ となる $v$ は $v=1,\dots ,n-1$ の $n-1$ 通り。残り $n-2$ 枚の並べ方は $(n-2)!$ 通り。よって $P(I_k=1)=\frac{(n-1)(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n}$。したがって $E(X)=\frac{n-1}{n}$。

(2) $k\ne l$ のとき $E(I_k{I}_l)=P(I_k=1,I_l=1)$:
- $|k-l|=1$ のとき（$n\geqq 3$）: 連続する 3 か所が $v,v+1,v+2$ となる。$v$ は $n-2$ 通り、残りは $(n-3)!$ 通り。確率は $\frac{(n-2)(n-3)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}$。
- $|k-l|\geqq 2$ のとき（$n\geqq 4$）: $(a_k,a_{k+1})=(v,v+1)$, $(a_l,a_{l+1})=(w,w+1)$ で、4 枚のカードが異なるので $w\ne v-1,v,v+1$。$(v,w)$ は $(n-1{)}^2-\{(n-1)+2(n-2)\}=n^2-5n+6=(n-2)(n-3)$ 通り。残りは $(n-4)!$ 通り。確率は $\frac{(n-2)(n-3)(n-4)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)}$。

どちらの場合も $E(I_k{I}_l)=\frac{1}{n(n-1)}$。

(3) $E(X^2)={\sum }_{k}E(I_k^2)+{\sum }_{k\ne l}E(I_k{I}_l)=\frac{n-1}{n}+(n-1)(n-2)\cdot \frac{1}{n(n-1)}=\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}=\frac{2n-3}{n}$。

(4) $V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{2n-3}{n}-\frac{(n-1{)}^2}{n^2}=\frac{2n^2-3n-(n^2-2n+1)}{n^2}=\frac{n^2-n-1}{n^2}$。

検算: $n=2$ のとき $X$ は $(1,2)$ で $1$、$(2,1)$ で $0$ なので $V(X)=\frac{1}{4}$。公式は $\frac{4-2-1}{4}=\frac{1}{4}$ で一致。$n=3$ のとき 6 通りで $X=2,0,0,1,1,0$（123,132,213,231,312,321）なので $E(X)=\frac{2}{3}$, $E(X^2)=1$, $V(X)=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。公式は $\frac{9-3-1}{9}=\frac{5}{9}$ で一致。