統計的な推測の問題

補助の確率変数 $i=1,2,\dots ,n-1$ に対し、$i$ と $i+1$ のカードが隣り合っているとき $A_i=1$、そうでないとき $A_i=0$ とする確率変数を考える。すると
$$X=A_1+A_2+\cdots +A_{n-1}$$
である。並べ方は全部で $n!$ 通りあり、どれも同様に確からしい。

$E(X)$ $i$ と $i+1$ を $1$ つのかたまりとみなすと、かたまりと残り $n-2$ 枚の並べ方が $(n-1)!$ 通り、かたまりの中の順序が $2$ 通りなので
$$P(A_i=1)=\frac{2\cdot (n-1)!}{n!}=\frac{2}{n},E(A_i)=\frac{2}{n}.$$
よって $E(X)=\sum _{i=1}^{n-1}E(A_i)=\frac{2(n-1)}{n}$。

$E(X^2)$ $A_i^2=A_i$ なので
$$X^2=\sum _{i=1}^{n-1}{A}_i+2\sum _{1\leqq i<j\leqq n-1}{A}_i{A}_j$$
であり、$E(A_i{A}_j)$ は「$A_i=1$ かつ $A_j=1$」となる確率である。$i<j$ の組を次の $2$ 種類に分ける。

(ア) $j=i+1$ のとき（$n-2$ 組）。$i$ と $i+1$、$i+1$ と $i+2$ がともに隣り合うのは、$3$ 枚が $i+1$ を真ん中にして連続して並ぶとき、すなわち $i,i+1,i+2$ または $i+2,i+1,i$ の順のかたまりになるときである。かたまりと残り $n-3$ 枚の並べ方は $(n-2)!$ 通りなので
$$P=\frac{2\cdot (n-2)!}{n!}=\frac{2}{n(n-1)}.$$

(イ) $j\geqq i+2$ のとき（${}_{n-1}{\mathrm{C}}_2-(n-2)=\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ 組）。$\{i,i+1\}$ と $\{j,j+1\}$ は共通のカードをもたないので、$2$ つのかたまりと残り $n-4$ 枚の並べ方が $(n-2)!$ 通り、各かたまりの中の順序が $2\times 2$ 通りで
$$P=\frac{4\cdot (n-2)!}{n!}=\frac{4}{n(n-1)}.$$

したがって
$$2\sum _{i<j}E(A_i{A}_j)=2\left\{(n-2)\cdot \frac{2}{n(n-1)}+\frac{(n-2)(n-3)}{2}\cdot \frac{4}{n(n-1)}\right\}=\frac{4(n-2)\{1+(n-3)\}}{n(n-1)}=\frac{4(n-2{)}^2}{n(n-1)}$$
で、
$$E(X^2)=\frac{2(n-1)}{n}+\frac{4(n-2{)}^2}{n(n-1)}.$$

$V(X)$ $V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$ より
$$V(X)=\frac{2(n-1)}{n}+\frac{4(n-2{)}^2}{n(n-1)}-\frac{4(n-1{)}^2}{n^2}=\frac{2n(n-1{)}^2+4n(n-2{)}^2-4(n-1{)}^3}{n^2(n-1)}.$$
分子は
$$(2n^3-4n^2+2n)+(4n^3-16n^2+16n)-(4n^3-12n^2+12n-4)=2n^3-8n^2+6n+4=2(n-2)(n^2-2n-1)$$
なので
$$V(X)=\frac{2(n-2)(n^2-2n-1)}{n^2(n-1)}.$$

確認 $n=2$ のとき $X$ はつねに $1$ で $V(X)=0$、式も $0$。$n=3$ のとき $6$ 通りの並びで $X$ は $123,321$ で $2$、他の $4$ 通りで $1$ なので $E(X)=\frac{4}{3}$, $E(X^2)=2$, $V(X)=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}$。式も $\frac{2\cdot 1\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac{2}{9}$ で一致する。

$i=1,\dots ,n-1$ について、$i$ と $i+1$ が隣り合うとき $1$、そうでないとき $0$ をとる確率変数を $X_i$ とすると $X=X_1+\cdots +X_{n-1}$。

(1) $P(X_i=1)$: $i,i+1$ を 1 組とみなして並べ、組の中の順序が 2 通りなので $\frac{2\cdot (n-1)!}{n!}=\frac{2}{n}$。よって $E(X)=\frac{2(n-1)}{n}$。

(2) $E(X^2)=\sum E(X_i)+2{\sum }_{i<j}E(X_i{X}_j)$。
- $j=i+1$ のとき（組は $n-2$ 個）: $i,i+1,i+2$ がこの順または逆順に連続する。$\frac{2\cdot (n-2)!}{n!}=\frac{2}{n(n-1)}$。
- $j\geqq i+2$ のとき（組は $\frac{(n-1)(n-2)}{2}-(n-2)=\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ 個）: 2 つの組が別々にまとまるので、$\frac{2\cdot 2\cdot (n-2)!}{n!}=\frac{4}{n(n-1)}$。

よって
$E(X^2)=\frac{2(n-1)}{n}+2\left[\frac{2(n-2)}{n(n-1)}+\frac{(n-2)(n-3)}{2}\cdot \frac{4}{n(n-1)}\right]=\frac{2(n-1)}{n}+\frac{4(n-2{)}^2}{n(n-1)}$。

$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{2(n-1)}{n}+\frac{4(n-2{)}^2}{n(n-1)}-\frac{4(n-1{)}^2}{n^2}$
$=\frac{2n(n-1{)}^2+4n(n-2{)}^2-4(n-1{)}^3}{n^2(n-1)}=\frac{2n^3-8n^2+6n+4}{n^2(n-1)}=\frac{2(n-2)(n^2-2n-1)}{n^2(n-1)}$。

検算: $n=2$ のとき $X=1$ で常に一定なので $V=0$、式も $0$。$n=3$ のとき 6 通りで $X=2,2,1,1,1,1$ なので $E(X^2)=2$、$E(X)=\frac{4}{3}$、$V=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}$。式は $\frac{2\cdot 1\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac{2}{9}$ で一致。