場合の数と確率の問題

$3$ 回の取り出し方は全部で $10^3=1000$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

「最大値が $9$ 以上」は「$9$ または $10$ が少なくとも $1$ 回出る」ことと同じである。「最小値が $2$ 以下」は「$1$ または $2$ が少なくとも $1$ 回出る」ことと同じである。

そこで、事象 $A$, $B$ を次のように定める。
- $A$：$3$ 回とも $9$, $10$ 以外が出る（つまり最大値が $8$ 以下）
- $B$：$3$ 回とも $1$, $2$ 以外が出る（つまり最小値が $3$ 以上）

求める事象は「$A$ でも $B$ でもない」こと、すなわち $\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cup B}$ である。よって、求める確率は $1-P(A\cup B)$ となる。

各事象の確率を求める。
- $A$：$1$ 回ごとに $1$〜$8$ の $8$ 通りなので $P(A)=\frac{8^3}{1000}=\frac{512}{1000}$
- $B$：$1$ 回ごとに $3$〜$10$ の $8$ 通りなので $P(B)=\frac{512}{1000}$
- $A\cap B$：$1$ 回ごとに $3$〜$8$ の $6$ 通りなので $P(A\cap B)=\frac{6^3}{1000}=\frac{216}{1000}$

和事象の確率の公式より
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{512+512-216}{1000}=\frac{808}{1000}$$

したがって、求める確率は
$$1-\frac{808}{1000}=\frac{192}{1000}=\frac{24}{125}$$
である。

3回の記録の列は全部で $10^3=1000$ 通りで、どれも同様に確からしい。

事象 $A$:「最大値が $9$ 以上」、事象 $B$:「最小値が $2$ 以下」とする。

• $\overline{A}$(最大値が $8$ 以下)は、3回とも $1\sim 8$ なので $8^3=512$ 通り。
• $\overline{B}$(最小値が $3$ 以上)は、3回とも $3\sim 10$ なので $8^3=512$ 通り。
• $\overline{A}\cap \overline{B}$(すべて $3\sim 8$)は $6^3=216$ 通り。

よって
$|A\cap B|=1000-512-512+216=192$ 通り。

検算:$\{9,10\}$ から1個、$\{1,2\}$ から1個、残り1個が $3\sim 8$ の場合は $3!\times 2\times 2\times 6=144$ 通り。残り1個が $\{9,10\}$ の場合は $3\times 2^2\times 2=24$ 通り。残り1個が $\{1,2\}$ の場合も $24$ 通り。合計 $144+24+24=192$ 通りで一致する。

確率は $\frac{192}{1000}=\frac{24}{125}$。