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場合の数と確率の問題

難易度 3共通テストレベル数学A 場合の数と確率

$1$ から $9$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $9$ 枚のカードがある。これらをよくまぜて、縦 $3$ 行・横 $3$ 列に並んだ $9$ つのマスに $1$ 枚ずつ無作為に置く。

$3$ つの行のうち、置かれた $3$ 枚のカードに書かれた数の和が $15$ である行が少なくとも $1$ つある確率を求めよ。

この問題で使うもの

確率の定義と和事象・余事象（説明と入口の問題）
包除原理（説明と入口の問題）
順列・円順列・重複順列（説明と入口の問題）
和の法則・積の法則と樹形図（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

第 $i$ 行の和が $15$ である事象を $R_{i}$ として、 $P (R_{1} \cup R_{2} \cup R_{3})$ を $3$ つの事象の和事象の公式で求めましょう。まず、 $1$ 〜 $9$ から和が $15$ になる $3$ 数の組をすべて書き出します。

ヒント 2

和が $15$ の組は $8$ 組あります。また、 $1$ 〜 $9$ の和は $45$ なので、 $2$ つの行の和が $15$ なら残りの行の和も自動的に $15$ になります。

ヒント 3

$P (R_{i}) = \frac{2}{21}$ です。 $1$ 〜 $9$ を和が $15$ の $3$ 組に分ける方法は、 $5$ を含む組で場合分けすると $2$ 通りで、 $P (R_{1} \cap R_{2} \cap R_{3}) = \frac{1}{140}$ となります。

答えと解説

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\frac{19}{70}

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解説を読む

カードの置き方は全部で $9!$ 通りあり、これらは同様に確からしい。第 $i$ 行 $(i = 1, 2, 3)$ の和が $15$ である事象を $R_{i}$ とする。求める確率は $P (R_{1} \cup R_{2} \cup R_{3})$ である。

和が $15$ になる $3$ 数の組. $1$ 〜 $9$ の異なる $3$ 数で和が $15$ になる組を、最小の数で分けて調べると
${1, 5, 9}, {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, {2, 5, 8}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}, {3, 5, 7}, {4, 5, 6}$
の $8$ 組である（最小の数が $5$ 以上だと和は $5 + 6 + 7 = 18 > 15$ になる）。

$P (R_{i})$ . 第 $i$ 行に入る $3$ 数の組の選び方が $8$ 通り、その並べ方が $3!$ 通り、残り $6$ 枚の置き方が $6!$ 通りなので
$P (R_{i}) = \frac{8 \cdot 3 ! \cdot 6 !}{9 !} = \frac{48}{504} = \frac{2}{21}$

$P (R_{i} \cap R_{j})$ $(i \neq = j)$ . $1$ 〜 $9$ の和は $45$ なので、 $2$ つの行の和が $15$ なら残りの行の和も $45 - 30 = 15$ となる。よって $R_{i} \cap R_{j} = R_{1} \cap R_{2} \cap R_{3}$ である。

そこで、 $1$ 〜 $9$ を和が $15$ の $3$ 組に分ける方法を調べる。 $5$ を含む組は ${1, 5, 9}, {2, 5, 8}, {3, 5, 7}, {4, 5, 6}$ のいずれかである。
- ${1, 5, 9}$ のとき、残り ${2, 3, 4, 6, 7, 8}$ は ${2, 6, 7}, {3, 4, 8}$ に分けられる。
- ${2, 5, 8}$ のとき、残りに含まれる $1$ を含む組 ${1, 5, 9}, {1, 6, 8}$ はどちらも使えないので不可。
- ${3, 5, 7}$ のとき、残り ${1, 2, 4, 6, 8, 9}$ は ${1, 6, 8}, {2, 4, 9}$ に分けられる。
- ${4, 5, 6}$ のとき、 $1$ を含む組 ${1, 5, 9}, {1, 6, 8}$ はどちらも使えないので不可。

よって分け方は $2$ 通りある。 $3$ 組をどの行に入れるかが $3!$ 通り、各行の中の並べ方が $(3!)^{3}$ 通りなので
$P (R_{1} \cap R_{2} \cap R_{3}) = \frac{2 \cdot 3 ! \cdot ( 3 ! ) ^{3}}{9 !} = \frac{2592}{362880} = \frac{1}{140}$
であり、 $P (R_{i} \cap R_{j}) = \frac{1}{140}$ でもある。

和事象の確率. 包除原理（ $3$ つの事象の和事象の確率の公式）より
$P (R_{1} \cup R_{2} \cup R_{3}) = 3 \cdot \frac{2}{21} - 3 \cdot \frac{1}{140} + \frac{1}{140} = \frac{2}{7} - \frac{1}{70} = \frac{20 - 1}{70} = \frac{19}{70}$
である。

別解

各行に入る $3$ 枚の組（行内の順序は無視）を考える。 $9$ 枚を第 $1$ 行・第 $2$ 行・第 $3$ 行に $3$ 枚ずつ分ける分け方は $_{9} C_{3} \cdot_{6} C_{3} \cdot_{3} C_{3} = 84 \cdot 20 \cdot 1 = 1680$ 通りで、これらは同様に確からしい（各分け方に対し行内の並べ方は $3!^{3}$ 通りで共通）。

和が $15$ になる $3$ つの異なる $1 \sim 9$ の整数の組は
${1, 5, 9}, {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, {2, 5, 8}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}, {3, 5, 7}, {4, 5, 6}$ の $8$ 組。

第 $i$ 行の和が $15$ である事象を $A_{i}$ とする。

$∣ A_{i} ∣$ : 第 $i$ 行の組が $8$ 通りで、残り $6$ 枚を他の $2$ 行に分ける方法は $_{6} C_{3} = 20$ 通り。よって $∣ A_{i} ∣ = 8 \cdot 20 = 160$ 。和は $3 \cdot 160 = 480$ 。
$∣ A_{i} \cap A_{j} ∣$ : 互いに素な $2$ 組の選び方を調べると、順序なしで ${1, 5, 9} & {2, 6, 7}$ 、 ${1, 5, 9} & {3, 4, 8}$ 、 ${1, 6, 8} & {2, 4, 9}$ 、 ${1, 6, 8} & {3, 5, 7}$ 、 ${2, 4, 9} & {3, 5, 7}$ 、 ${2, 6, 7} & {3, 4, 8}$ の $6$ 通り。行 $i, j$ への割り当てで $\times 2$ して $12$ 通り（残りの行は自動的に決まる）。よって $∣ A_{i} \cap A_{j} ∣ = 12$ 、和は $3 \cdot 12 = 36$ 。
$∣ A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} ∣$ : $9$ 枚を和 $15$ の $3$ 組に分ける方法は ${1, 5, 9}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}$ と ${1, 6, 8}, {2, 4, 9}, {3, 5, 7}$ の $2$ 通りで、行への割り当てが $3! = 6$ 通りずつ。よって $12$ 。

包除原理より $∣ A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} ∣ = 480 - 36 + 12 = 456$ 。

確率は $\frac{456}{1680} = \frac{19}{70}$ 。

検算: $456 = 24 \cdot 19$ 、 $1680 = 24 \cdot 70$ で約分できる。また、 $9$ 枚の合計は $45$ なので、 $2$ 行の和が $15$ なら残りの行の和も $15$ になることと、 $∣ A_{i} \cap A_{j} ∣ = ∣ A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} ∣ = 12$ が整合している（ $12$ は $2$ 行が和 $15$ の場合の数 $12$ と一致）。

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