標識再捕法の応用（標識の脱落・個体の加入）

標識が一定の確率で外れる場合の真の標識個体数の推定や、複数回の標識・再捕から途中で加入した個体数の推定など、標識再捕法の前提が一部くずれる場合の個体数を求められる

前提

標識再捕法（高校生物生態と環境）
独立な試行と反復試行（数学A 場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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独立な試行と反復試行（数学A 場合の数と確率）

説明

標識再捕法の式 $N = \frac{M \times n}{m}$ は、「標識が外れない」「調査の間に個体数が変わらない」などの前提のもとで成り立ちます。実際の調査では、標識が一定の確率で外れてしまったり、2 回の捕獲の間に新しく生まれた個体や外から入ってきた個体が加わったりすることがあります。この技能では、そのように前提の一部がくずれる場合に、くずれた分を計算で補正して個体数を推定できるようになります。

なぜそうしてよいのか

標識再捕法の考え方の中心は、「全体の中の標識個体の割合」と「2 回目に捕獲した個体の中の標識個体の割合」が等しい、という比例式
$\frac{2 回目の捕獲のときに群れの中にいる標識個体数}{2 回目の捕獲のときの個体数} = \frac{m}{n}$
です。前提がくずれたときは、この式の左辺の分子・分母が「2 回目の捕獲のときに実際どうなっているか」を考え直せばよいのです。

標識の脱落：標識をつけた $M$ 個体のそれぞれについて、2 回目の捕獲までに標識が外れる確率が $q$ で、個体ごとに独立だとします。どの個体も確率 $1 - q$ で標識が残るので、 $M$ 個体のうち標識が残っているのはおよそ $M (1 - q)$ 個体と考えられます。標識が外れた個体は、捕まえても標識のない個体として数えられてしまいます。したがって、比例式の分子は $M$ ではなく $M (1 - q)$ にして
$\frac{M ( 1 - q )}{N} = \frac{m}{n} ⟹ N = \frac{M ( 1 - q ) \times n}{m}$
となります。これは、2 回目に見つかった標識個体 $m$ を「もし標識が外れなければ見つかったはずの数」 $\frac{m}{1 - q}$ に直してから、ふつうの式 $N = \frac{M \times n}{m / ( 1 - q )}$ に入れるのと同じです。

個体の加入：1 回目と 2 回目の間に、死亡や移出はなく、出生や移入によって新しい個体だけが加わったとします。新しく加わった個体には標識がないので、群れの中の標識個体数は $M$ のまま変わりません。すると $N_{2} = \frac{M \times n}{m}$ は「2 回目の捕獲のときの個体数」の推定値になります。1 回目のときの個体数 $N_{1}$ が（それ以前の標識再捕などで）わかっていれば、その間に加入した個体数は $N_{2} - N_{1}$ と推定できます。このように、何回かに分けて標識・再捕を行うと、各時点の個体数を推定でき、その差から途中で加わった個体数がわかります。

手順

問題文から、どの前提がくずれているか（標識の脱落か、個体の加入か）と、標識個体数 $M$ 、2 回目の捕獲数 $n$ 、その中の標識個体数 $m$ を読み取る
標識の脱落がある場合：2 回目の捕獲のときに標識が残っている個体数を $M (1 - q)$ （ $q$ は標識が外れる確率）と求める
比例式 $\frac{標識が残っている個体数}{N} = \frac{m}{n}$ を立てて $N$ を求める。脱落があれば $N = \frac{M ( 1 - q ) \times n}{m}$
個体の加入がある場合：標識個体数は $M$ のままなので $N_{2} = \frac{M \times n}{m}$ で 2 回目のときの個体数を求め、1 回目のときの個体数 $N_{1}$ との差 $N_{2} - N_{1}$ を加入した個体数とする

例題

ある湖で魚を 200 匹捕獲し、すべてに標識をつけて湖に放した。この標識は、2 回目の捕獲までに 1 匹ごとに独立に確率 20 % で外れ、外れた標識がほかの個体につくことはないことがわかっている。2 回目に 150 匹を捕獲したところ、標識のついている魚は 24 匹であった。標識をつけた魚（標識が外れたものも含む）は湖全体に一様に混じり、この間に魚の出生・死亡・移入・移出はなく、標識の有無は捕獲されやすさに影響しないものとする。2 回目に捕獲された魚のうち標識のついている魚の割合が、湖全体の魚のうち標識のついている魚の割合と等しいとし、2 回目の捕獲までに標識が残っている魚の数は、標識をつけた魚の数に標識が残る確率をかけた数とする。この湖の魚の個体数を推定し、何匹か求めよ。

例題の解答

手順 1：くずれている前提は標識の脱落である。 $M = 200$ 、 $n = 150$ 、 $m = 24$ 、標識が外れる確率は $q = 0.2$ 。

手順 2：2 回目の捕獲のときに標識が残っている魚の数は
$M (1 - q) = 200 \times (1 - 0.2) = 200 \times 0.8 = 160 匹$

手順 3：湖の魚の個体数を $N$ とすると
$\frac{160}{N} = \frac{24}{150} ⟹ N = \frac{160 \times 150}{24} = \frac{24000}{24} = 1000$

よって、この湖の魚は 1000 匹と推定される。（脱落を考えずに $\frac{200 \times 150}{24} = 1250$ とすると、実際より多く推定してしまう。）

答え: $1000$

よくある誤り

標識の脱落を無視して $N = \frac{M \times n}{m}$ をそのまま使ってしまう誤り。例題では $\frac{200 \times 150}{24} = 1250$ となり過大に推定される。正しくは標識が残っている数 $M (1 - q)$ を使って $N = \frac{160 \times 150}{24} = 1000$
補正の向きを逆にして、標識が外れる確率 $q$ をかけたり、 $M$ を $1 - q$ で割ったりしてしまう誤り。例題で $200 \times 0.2 = 40$ や $\frac{200}{0.8} = 250$ を使うのは誤りで、正しくは標識が残る確率 $1 - q = 0.8$ をかけて $200 \times 0.8 = 160$
個体の加入がある場合に、新しく加わった個体にも標識があるかのように標識個体数を増やしてしまう誤り。正しくは、加入した個体には標識がないので標識個体数は $M$ のままで、 $N_{2} = \frac{M \times n}{m}$ は 2 回目のときの個体数の推定値になる
個体の加入がある場合に、 $\frac{M \times n}{m}$ そのものを加入した個体数としてしまう誤り。正しくはそれは 2 回目のときの個体数 $N_{2}$ で、加入した個体数は 1 回目のときの個体数 $N_{1}$ との差 $N_{2} - N_{1}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある湖に生息するフナの個体数を標識再捕法で調べた。1 回目に $100$ 匹を捕獲し、すべてに標識をつけてもとの湖に放した。その後、2 回目の捕獲までの間に、標識をつけた個体のうち $20 %$ の個体で標識が外れたことがわかっている。2 回目に $60$ 匹を捕獲したところ、そのうち標識がついていた個体は $12$ 匹であった。
この湖のフナの個体数は何匹と推定されるか。ただし、標識が外れた個体は標識のない個体と区別できないものとする。また、調査の期間中にフナの出生・死亡・移出・移入はなく、標識がついている個体は湖の中に一様に混ざり、標識の有無によって捕獲されやすさは変わらないものとする。

標識の種類	個体数
白色の標識のみ	25
青色の標識のみ	15
標識なし	120

標識の状態	個体数
2 個とも残っている	$45$
どちらか一方だけ残っている	$30$
標識が 1 個も見られない	$105$

標識再捕法の応用（標識の脱落・個体の加入）

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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