生態と環境の問題

ある池にすむコイの個体数を、標識再捕法で推定する。

1 回目に $240$ 匹のコイを捕獲し、1 匹ごとに背びれと尾びれに 1 つずつ、合計 2 個の標識をつけて、すべて池にもどした。標識はしばらくすると外れることがある。どちらの標識も 2 回目の捕獲までに外れずに残っている確率は同じ値 $q$（$0<q<1$）で、一方の標識が外れるかどうかは、もう一方の標識が外れるかどうかに関係しない。

十分に時間がたった後、2 回目に $180$ 匹のコイを捕獲し、標識の残り方を調べたところ、次の表のようになった。

なお、標識が 2 個とも外れた個体は、外見では標識をつけていない個体と区別できない。

1 回目から 2 回目までの間に、出生・死亡・移入・移出はなく、標識をつけた個体はつけていない個体と池の中で均一に混ざり合い、どの個体も同じ確率で捕獲されるものとする。また、標識が外れても個体の生存や捕獲されやすさには影響しないものとする。

この池のコイの個体数は何匹と推定されるか。

ある池にすむフナの個体数を標識再捕法で推定する。1 回目に 48 匹のフナを捕獲し、からだに標識をつけてすべて池にもどした。数日後、2 回目に 60 匹のフナを捕獲したところ、そのうち 9 匹に標識がついていた。

この池のフナの個体数は何匹と推定されるか。ただし、調査の期間中にフナの出生・死亡・移入・移出はなく、標識は調査中に脱落せず、標識をつけた個体は池の中に一様に混ざり、標識の有無によって捕獲されやすさは変わらないものとする。

ある湖に生息するフナの個体数を標識再捕法で調べた。1 回目に $100$ 匹を捕獲し、すべてに標識をつけてもとの湖に放した。その後、2 回目の捕獲までの間に、標識をつけた個体のうち $20\%$ の個体で標識が外れたことがわかっている。2 回目に $60$ 匹を捕獲したところ、そのうち標識がついていた個体は $12$ 匹であった。

この湖のフナの個体数は何匹と推定されるか。ただし、標識が外れた個体は標識のない個体と区別できないものとする。また、調査の期間中にフナの出生・死亡・移出・移入はなく、標識がついている個体は湖の中に一様に混ざり、標識の有無によって捕獲されやすさは変わらないものとする。

ある池に生息するコイの個体数を、標識再捕法で調べた。1 回目に $60$ 匹を捕獲し、すべてに標識をつけてもとの池に放した。数日後、2 回目に $45$ 匹を捕獲したところ、そのうち $9$ 匹に標識がついていた。

この池のコイの個体数は何匹と推定されるか。ただし、調査の期間中にコイの出生・死亡・移出・移入はなく、標識は外れず、標識をつけた個体は池の中に一様に混ざり、標識の有無によって捕獲されやすさは変わらないものとする。

ゾウリムシを一定量の培養液で培養する実験を行った。同じ条件で用意した培養液に、はじめの個体数 $N$ を変えてゾウリムシを入れ、1 日後の個体数を数えて、1 日間の増加数 $\Delta N$ を求めた。結果は次の表のとおりである。

この培養条件では、1 個体あたりの 1 日間の増加数 $\frac{\Delta N}{N}$ は、その日のはじめの個体数 $N$ の一次関数として、$N$ が大きくなるほど直線的に小さくなり、$N$ が環境収容力 $K$ に等しいとき $0$ になるものとする。また、各日の増加数は、その日のはじめの個体数だけで決まり、この関係は表の範囲外の個体数でも成り立つものとする。

次に、培養液の体積は変えずに餌の量だけを増やしたところ、環境収容力がもとの 2 倍になった。このとき、個体数が $0$ に近いときの 1 個体あたりの 1 日間の増加数（直線の $N=0$ での値）はもとの条件と変わらなかった。この新しい条件で、はじめの個体数を 500 として培養したとき、2 日後の個体数は何個体になるか。整数で求めよ。