標識再捕法

1 回目に標識した個体数 $M$ 、2 回目の捕獲数 $n$ 、その中の標識個体数 $m$ から、 $N = \frac{M \times n}{m}$ で個体数を推定できる

前提

印をつけたものを混ぜる推定（中学数学データの活用）

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算数中学高校大学大学院

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1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
印をつけたものを混ぜる推定（中学数学データの活用）

説明

池の魚や草地のバッタのように、動き回っていてすべてを数えることができない動物について、ある地域にすむ個体の総数（個体数）を推定する方法が標識再捕法です。1 回目に捕まえた個体に印（標識）をつけて放し、しばらくしてから 2 回目を捕まえて、その中に標識のついた個体がどれだけ混じっているかを数えます。この技能では、1 回目に標識した個体数 $M$ 、2 回目の捕獲数 $n$ 、その中の標識個体数 $m$ から、全体の個体数 $N$ を $N = \frac{M \times n}{m}$ で求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

標識をつけた $M$ 匹を放すと、しばらくして群れ全体にまんべんなく混じります。すると、全体 $N$ 匹のうち標識個体が占める割合は $\frac{M}{N}$ です。2 回目に捕まえた $n$ 匹は全体から偏りなく取り出した「見本」なので、その中の標識個体の割合 $\frac{m}{n}$ は、全体での割合とほぼ同じになると考えられます。
$\frac{M}{N} = \frac{m}{n}$
この比例式を $N$ について解くと、 $N \times m = M \times n$ より
$N = \frac{M \times n}{m}$
となります。たとえば袋の中の白い碁石に 20 個だけ赤い印をつけてよく混ぜ、一握り取り出したら 10 個中 2 個に印があったとすれば、印は全体の $\frac{1}{5}$ と考えられるので、全体は $20 \times 5 = 100$ 個くらいと見積もれます。これと同じ考え方です。

この推定が成り立つためには、次の条件が必要です。標識個体が群れ全体に十分に混じりあっていること、標識が調査の間に消えたり、標識によって動物が捕まりやすく（捕まりにくく）なったり死にやすくなったりしないこと、1 回目と 2 回目の間に出生・死亡や移入・移出による個体数の変化がほとんどないこと。そのため、この方法は行動範囲が広くよく動く動物に向いていて、植物や動きの少ない動物には区画法（一定の面積の区画の中の個体を数える方法）が使われます。

手順

1 回目に捕獲して標識をつけ、放した個体数 $M$ を読み取る
2 回目に捕獲した個体数 $n$ と、その中の標識のついた個体数 $m$ を読み取る
「全体の中の標識個体の割合」と「2 回目の捕獲の中の標識個体の割合」が等しいとして比例式をつくる： $\frac{M}{N} = \frac{m}{n}$
$N$ について解いて計算する： $N = \frac{M \times n}{m}$

例題

ある池でフナを 60 匹捕獲し、すべてに標識をつけてもとの池に放した。数日後、同じ池で再びフナを捕獲したところ 50 匹が捕獲され、そのうち 12 匹に標識がついていた。標識個体は池全体に一様に混じり、この間にフナの出生・死亡・移入・移出はなく、標識は調査の間に失われず捕獲されやすさにも影響しなかったものとする。この池のフナの個体数を推定し、何匹か求めよ。

例題の解答

手順 1：1 回目に標識して放した個体数は $M = 60$ 。

手順 2：2 回目の捕獲数は $n = 50$ 、その中の標識個体数は $m = 12$ 。

手順 3：池全体のフナの数を $N$ とすると、全体の中の標識個体の割合と、2 回目の捕獲の中の標識個体の割合が等しいので
$\frac{60}{N} = \frac{12}{50}$

手順 4： $N$ について解くと
$N = \frac{60 \times 50}{12} = \frac{3000}{12} = 250$
よって、この池のフナは 250 匹と推定される。

答え: $250$

よくある誤り

2 回目に捕獲した個体数と標識個体数の入れる位置を逆にして $N = \frac{M \times m}{n}$ としてしまう誤り。正しくは $N = \frac{M \times n}{m}$ 。例題では $\frac{60 \times 12}{50} = 14.4$ となり、標識した 60 匹より少なくなるのでおかしいと気づける
2 回目に捕獲した数 $n$ を全体の個体数と考えたり、 $M + n$ や $M + n - m$ を全体の個体数としてしまう誤り。正しくは比例式 $\frac{M}{N} = \frac{m}{n}$ から $N = \frac{M \times n}{m}$ で推定する（例題では $60 + 50 - 12 = 98$ ではなく $250$ ）
割合の式を $\frac{M}{N} = \frac{n}{m}$ のように分子と分母を逆に立ててしまう誤り。正しくは、両辺とも「標識個体数 ÷ 個体数」で、 $\frac{M}{N} = \frac{m}{n}$
標識が取れたり、標識個体が捕まりやすくなったりする場合にも同じ式がそのまま使えるとしてしまう誤り。正しくは、標識の消失や捕獲されやすさの変化、出生・死亡・移出入による個体数の変化がないことが前提で、たとえば標識が取れて $m$ が実際より小さく数えられると、 $N = \frac{M \times n}{m}$ は実際より大きく推定される

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある池に生息するコイの個体数を、標識再捕法で調べた。1 回目に $60$ 匹を捕獲し、すべてに標識をつけてもとの池に放した。数日後、2 回目に $45$ 匹を捕獲したところ、そのうち $9$ 匹に標識がついていた。
この池のコイの個体数は何匹と推定されるか。ただし、調査の期間中にコイの出生・死亡・移出・移入はなく、標識は外れず、標識をつけた個体は池の中に一様に混ざり、標識の有無によって捕獲されやすさは変わらないものとする。

この技能を使う問題

標識の種類	個体数
白色の標識のみ	25
青色の標識のみ	15
標識なし	120

標識の状態	個体数
2 個とも残っている	$45$
どちらか一方だけ残っている	$30$
標識が 1 個も見られない	$105$

この技能の次に学べること

標識再捕法の応用（標識の脱落・個体の加入）（高校生物生態と環境）