problemyriad

技能一覧 › 中学数学 データの活用

印をつけたものを混ぜる推定

印をつけたもの（黒い碁石など）を母集団に混ぜて標本を取り出したとき、標本の中の割合から母集団全体の数やもとの個数を推定でき、重さと粒数の関係を使う推定もできる

前提

この技能までの道筋（16 技能）
算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）
  1. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  2. 割合の基本（もとにする量・くらべる量） （算数 割合と比）
  3. 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
  4. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
  5. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
  6. 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
  7. 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
  8. 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
  9. 標本調査と母集団の推定 （中学数学 データの活用）
  10. 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
  11. 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
  12. 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
  13. 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
  14. 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
  15. 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
  16. 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）

説明

数えきれないほどたくさんある白い碁石や池の魚などの数を、印をつけたもの（黒い碁石や印をつけた魚）を混ぜてから一部を取り出して調べることで、およそ推定できるようになります。また、米粒のように 1 つ 1 つ数えにくいものを、重さと粒の数の関係から推定することもできるようになります。

なぜそうしてよいのか

数のわからない白い碁石の袋に、数のわかっている黒い碁石を入れてよくかき混ぜると、黒い碁石は袋全体に均一に散らばります。そこから無作為に一部を取り出せば、標本の中の黒い碁石の割合は、袋全体（母集団）の中の黒い碁石の割合とほぼ等しいと考えられます。

袋の中の白い碁石を 個とすると、袋全体は 個です。「標本での黒の割合 ＝ 母集団での黒の割合」という等式を立てると、 についての 1 次方程式（または比の式）になるので、それを解けば を推定できます。池の魚に印をつけてもどす方法も同じしくみで、印をつけた魚が「黒い碁石」の役わりをします。

重さを使う推定では、「同じ種類の粒は 1 粒の重さがほぼ同じ」と考えます。すると粒の数と重さは比例するので、少しの粒の数と重さを調べれば、全体の重さから全体の粒の数を推定できます。

手順

  1. 何が母集団で、印をつけたもの（または重さを測ったもの）がいくつあるかを整理する

  2. 求めたい数を とおき、母集団全体の数を を使って表す（白 個に黒を混ぜたなら全体は ）

  3. 標本の中の印をつけたものの割合を求め、「標本での割合 ＝ 母集団での割合」として方程式（または比の式）を立てる

  4. 方程式を解き、「およそ〜」として答える

例題

袋の中に白い碁石だけがたくさん入っている。この袋に黒い碁石を 60 個入れてよくかき混ぜ、無作為に 50 個の碁石を取り出したところ、その中に黒い碁石が 6 個ふくまれていた。袋の中にはじめに入っていた白い碁石は、およそ何個と推定できるか。

例題の解答

手順 1: 母集団は、黒い碁石を入れたあとの袋の中の碁石すべてで、印をつけたもの（黒い碁石）は 60 個。標本は取り出した 50 個。

手順 2: はじめの白い碁石を 個とすると、袋全体の碁石は 個。

手順 3: 標本での黒い碁石の割合は 、母集団での黒い碁石の割合は 。これらが等しいと考えて

手順 4: 両辺に をかけて 、よって 。白い碁石はおよそ 440 個と推定できる。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること