誤り訂正能力と復号の成功確率

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1\end{array}\right)$$
で定まる符号長 $5$ の線形符号 $C$ を考える。$C$ の最小距離を $d$ とし、$t=\lfloor \frac{d-1}{2}\rfloor$ とする。

$C$ の符号語を、各ビットが互いに独立に確率 $p=\frac{1}{10}$ で反転する（$0$ と $1$ が入れ替わる）2 元対称通信路で送信し、受信語を最小距離復号する。ただし、送信語に生じた誤りの個数が $t$ 個以下のときは正しく復号され、$t+1$ 個以上のときは正しく復号されないものとする。

正しく復号される確率を求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$$
で定まる符号長 $5$ の線形符号 $C$ を考える。$C$ の符号語を、ビット誤り確率 $p=\frac{1}{10}$ の 2 元対称通信路で送る。各ビットの誤りは互いに独立に起こるものとする。受信側では最小距離復号（受信語にハミング距離が最も近い符号語に復号する）を行う。

送った符号語が正しく復号される確率を、既約分数で求めよ。

符号長 $5$ の 2 元符号
$$C=\{00000,11100,00111,11011\}$$
を考える。$C$ の符号語を、ビット誤り確率 $p=\frac{1}{10}$ の 2 元対称通信路で送る。各ビットは互いに独立に確率 $p$ で反転する。

受信側では次のように復号する。$C$ の最小距離を $d$ とし、$t=\lfloor \frac{d-1}{2}\rfloor$ とおく。受信語とのハミング距離が $t$ 以下の符号語があれば、その符号語に復号する。そのような符号語がなければ、復号失敗とする。

送った符号語が正しく復号される確率を求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、生成多項式
$$g(x)=x^3+x+1$$
で定まる符号長 $7$ の巡回符号 $C$ を考える。すなわち、$C$ は ${\mathbb{F}}_2[x]$ の次数 $6$ 以下の多項式のうち $g(x)$ で割り切れるものの係数ベクトル全体である。

$C$ の符号語を $1$ つ選び、各ビットが互いに独立に確率 $p=\frac{1}{10}$ で反転する二元対称通信路で送る。受信側は、受信語とのハミング距離が最小となる符号語に復号する。復号結果が送信した符号語に一致する確率を求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、生成多項式
$$g(x)=x^4+x^3+x^2+1$$
で定まる符号長 $7$ の巡回符号 $C$ を考えます。すなわち、$C$ は ${\mathbb{F}}_2[x]$ の次数 $2$ 以下の多項式 $a(x)$ を用いて $a(x)g(x)$ と表される多項式全体です。多項式 $c_0+c_{1}x+\cdots +c_6{x}^6$ を語 $(c_0,c_1,\dots ,c_6)\in {\mathbb{F}}_2^7$ と同一視します。

$C$ の符号語を、ビット誤り確率 $p$ $\left(0<p<\frac{1}{2}\right)$ の二元対称通信路で送ります。各ビットは互いに独立に確率 $p$ で反転します。受信語 $r$ に対して、受信側は次のように復号します。

• $r$ とのハミング距離が $1$ 以下である符号語が存在すれば、その符号語を出力する。
• 存在しなければ、誤りを検出したと判断して何も出力しない。

（この復号法で、ハミング距離 $1$ 以下の符号語は存在すれば $1$ つに定まることも確かめてください。）

送信した符号語とは異なる符号語が出力される確率を、$p$ の式で求めてください。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、生成多項式 $$g(x)=x^4+x+1$$ で定まる符号長 $15$ の巡回符号 $C$ を考える。すなわち、$C$ は ${\mathbb{F}}_2[x]$ の次数 $14$ 以下の多項式のうち $g(x)$ で割り切れるもの全体（係数の列を長さ $15$ のベクトルとみなす）である。なお、$g(x)$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上の原始多項式であり、$x^{15}-1$ を割り切る。

$C$ の符号語を、ビット反転確率が $p$ $\left(0<p<\frac{1}{2}\right)$ の 2 元対称通信路で送る。各ビットの反転は互いに独立に起こるものとする。受信語は、シンドロームを計算し、そのシンドロームをもつベクトルのうちハミング重みが最小のもの（コセットリーダー）を誤りとみなして訂正する方法で復号する。

復号した符号語が送信した符号語と一致する確率を $p$ の式で求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、
$$g(x)=(x^4+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$
を生成多項式とする符号長 $15$ の巡回符号 $C$ を考える。すなわち、$C$ は ${\mathbb{F}}_2[x]$ の次数 $14$ 以下の多項式のうち $g(x)$ で割り切れるもの全体であり、多項式 $c_0+c_{1}x+\cdots +c_{14}{x}^{14}$ を語 $(c_0,c_1,\dots ,c_{14})\in {\mathbb{F}}_2^{15}$ と同一視する（$g(x)$ は $x^{15}-1$ を割り切る）。

$C$ の最小ハミング距離を $d$ とする。また、${\mathbb{F}}_2^{15}$ を $C$ による剰余類（$v+C$ の形の集合）に分けたとき、ハミング重みが $2$ 以下の語を $1$ つも含まない剰余類の個数を $N$ とする。$(d,N)$ をこの順に組で求めよ。

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、生成多項式
$$g(x)=(x+1)(x^4+x+1)=x^5+x^4+x^2+1$$
で定まる符号長 $15$ の巡回符号 $C$ を考える。すなわち、$C$ は ${\mathbb{F}}_2[x]$ の次数 $14$ 以下の多項式のうち $g(x)$ で割り切れるもの全体であり、多項式 $c_0+c_{1}x+\cdots +c_{14}{x}^{14}$ を語 $(c_0,c_1,\dots ,c_{14})\in {\mathbb{F}}_2^{15}$ と同一視する。また、$\alpha$ を ${\mathbb{F}}_{16}$ における $x^4+x+1$ の根とする（$\alpha$ の位数は $15$ である）。

符号語 $c(x)\in C$ を送信し、誤りパターン $e(x)$（次数 $14$ 以下）が加わって $r(x)=c(x)+e(x)$ を受信したとする。復号器は $s_0=r(1)\in {\mathbb{F}}_2$、$s_1=r(\alpha )\in {\mathbb{F}}_{16}$ を計算し、次の規則で動作する。

• $(1)$ $s_0=0$ かつ $s_1=0$ のとき：$r(x)$ をそのまま出力する。
• $(2)$ $s_0=1$ かつ $s_1\ne 0$ のとき：$s_1={\alpha }^m$ $(0\le m\le 14)$ となる $m$ をとり、$r(x)+x^m$ を出力する。
• $(3)$ それ以外のとき：誤りを検出したと宣言し、何も出力しない。

ハミング重み（$0$ でない係数の個数）が $1$ 以上 $5$ 以下の誤りパターン $e(x)$ のうち、復号器が送信した符号語 $c(x)$ と異なる語を出力してしまうものの個数を求めよ。