情報理論・符号理論の問題

二元体 ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$ 上で、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$$
で定まる符号長 $5$ の線形符号 $C$ を考える。$C$ の符号語を、ビット誤り確率 $p=\frac{1}{10}$ の 2 元対称通信路で送る。各ビットの誤りは互いに独立に起こるものとする。受信側では最小距離復号（受信語にハミング距離が最も近い符号語に復号する）を行う。

送った符号語が正しく復号される確率を、既約分数で求めよ。

符号長 $5$ の 2 元符号
$$C=\{00000,11100,00111,11011\}$$
を考える。$C$ の符号語を、ビット誤り確率 $p=\frac{1}{10}$ の 2 元対称通信路で送る。各ビットは互いに独立に確率 $p$ で反転する。

受信側では次のように復号する。$C$ の最小距離を $d$ とし、$t=\lfloor \frac{d-1}{2}\rfloor$ とおく。受信語とのハミング距離が $t$ 以下の符号語があれば、その符号語に復号する。そのような符号語がなければ、復号失敗とする。

送った符号語が正しく復号される確率を求めよ。

3 元体 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$（演算は $3$ を法とする）上の符号長 $4$ の線形符号 $C$ を、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
によって $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}=(u_1,u_2)\in {\mathbb{F}}_3^2\}$ と定める。符号語のハミング重みを $0$ でない成分の個数とし、$C$ の最小距離 $d$ を $0$ でない符号語の重みの最小値とする。$C$ の最小距離 $d$ と、重みがちょうど $d$ である符号語の個数 $A_d$ を、組 $(d,A_d)$ の形でこの順に求めよ。

3 元体 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$（演算は $3$ を法とする）上で、符号長 $4$ の線形符号 $C$ を生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
で定める。すなわち $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}=(a,b)\in {\mathbb{F}}_3^2\}$ とする。符号語 $\mathbf{c}$ のハミング重みを $0$ でない成分の個数とし、$C$ の最小距離 $d$ を $C$ の $0$ でない符号語の重みの最小値とする。また、重みがちょうど $d$ である符号語の個数を $A_d$ とする。$d$ と $A_d$ をこの順に組 $(d,A_d)$ で求めよ。

3 元体 ${\mathbb{F}}_3=\{0,1,2\}$（演算は $3$ を法とする）上の符号長 $4$ の線形符号 $C$ を、生成行列
$$G=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$$
によって $C=\{\mathbf{u}G\mid \mathbf{u}\in {\mathbb{F}}_3^2\}$ と定める（$\mathbf{u}$ は行ベクトル）。ベクトルのハミング重みを $0$ でない成分の個数とし、$C$ の最小距離 $d$ を $C$ の $0$ でない符号語のハミング重みの最小値とする。また、ハミング重みがちょうど $d$ である符号語の個数を $A_d$ とする。$d$ と $A_d$ をこの順に組 $(d,A_d)$ で求めよ。