場合の数と確率の問題

A が優勝するとき、B の勝ち数を $j$ $(j=0,1,2,3)$ とすると、全部で $4+j$ 試合行われ、最後の試合は A が勝つ。それより前の $3+j$ 試合では、A がちょうど $3$ 勝、B がちょうど $j$ 勝している。

最後の試合で A が勝った後は A の勝ち数の方が多いので、条件「B の勝ち数が A の勝ち数を上回ることがない」は、最初の $3+j$ 試合のどの時点でも（B の勝ち数）$\leqq$（A の勝ち数）であることと同じである。

勝ち負けの順序の数. A の勝ち数を $a$、B の勝ち数を $b$ として、点 $(a,b)$ を考える。A が勝つと $a$ が $1$ 増え、B が勝つと $b$ が $1$ 増える。$b\leqq a$ の範囲だけを通って $(0,0)$ から $(a,b)$ に至る順序の数を $f(a,b)$ とすると、
$$f(a,b)=f(a-1,b)+f(a,b-1)$$
（ただし $b>a$ となる点や範囲外の点の値は $0$）で求められる。順に計算すると
- $f(1,0)=1,f(1,1)=1$
- $f(2,0)=1,f(2,1)=2,f(2,2)=2$
- $f(3,0)=1,f(3,1)=3,f(3,2)=5,f(3,3)=5$

となる。例えば $j=1$ のときの $3$ 通りは「AAAB, AABA, ABAA」（「BAAA」は $1$ 試合目で B が上回るので不可）である。

確率. 各試合は独立なので、$j$ を決めたとき $1$ つの順序（最後の A の勝ちを含む）が起こる確率は ${\left(\frac{2}{3}\right)}^4{\left(\frac{1}{3}\right)}^j$ である。よって求める確率は
$${\left(\frac{2}{3}\right)}^4\left\{f(3,0)+f(3,1)\cdot \frac{1}{3}+f(3,2)\cdot \frac{1}{3^2}+f(3,3)\cdot \frac{1}{3^3}\right\}$$
$$=\frac{16}{81}\left(1+\frac{3}{3}+\frac{5}{9}+\frac{5}{27}\right)=\frac{16}{81}\cdot \frac{27+27+15+5}{27}=\frac{16}{81}\cdot \frac{74}{27}=\frac{1184}{2187}$$
である。

A が優勝するとき、最後の試合は A の勝ちで、そのとき B の勝ち数は $j=0,1,2,3$。試合の勝敗列は、A が $4$ 回、B が $j$ 回で最後が A となる列。最後の A を除いた先頭 $3+j$ 試合（A が $3$ 回、B が $j$ 回）が「どの時点でも B の勝ち数 $\leqq$ A の勝ち数」を満たせばよい（最後の A が加わっても条件は保たれる）。

先頭部分の列を数える（格子路で、A を右、B を上として直線 $y=x$ を超えない経路。反射の原理を使う）。条件を満たす列の数は ${}_{3+j}{\mathrm{C}}_j-{}_{3+j}{\mathrm{C}}_{j-1}$。
- $j=0$: $1-0=1$
- $j=1$: ${}_4{\mathrm{C}}_1-{}_4{\mathrm{C}}_0=4-1=3$
- $j=2$: ${}_5{\mathrm{C}}_2-{}_5{\mathrm{C}}_1=10-5=5$
- $j=3$: ${}_6{\mathrm{C}}_3-{}_6{\mathrm{C}}_2=20-15=5$

（検算: $j=3$ は、先頭 $6$ 試合が A 3 勝 B 3 勝で、どの時点でも B が上回らない列。カタラン数 $C_3=5$ と一致。）

どの列も確率は ${\left(\frac{2}{3}\right)}^4{\left(\frac{1}{3}\right)}^j$ なので、
$${\left(\frac{2}{3}\right)}^4\left(1+3\cdot \frac{1}{3}+5\cdot \frac{1}{9}+5\cdot \frac{1}{27}\right)=\frac{16}{81}\cdot \frac{27+27+15+5}{27}=\frac{16}{81}\cdot \frac{74}{27}=\frac{1184}{2187}.$$

別の検算: 各 $j$ の確率は $j=0$: $\frac{16}{81}$、$j=1$: $\frac{16}{81}$、$j=2$: $\frac{80}{729}$、$j=3$: $\frac{80}{2187}$。通分すると $\frac{432+432+240+80}{2187}$ ではなく $\frac{432}{2187}+\frac{432}{2187}+\frac{240}{2187}+\frac{80}{2187}=\frac{1184}{2187}$ で一致。