減数分裂と染色体の組み合わせ

相同染色体が独立に配偶子に分配されることから、配偶子の染色体の組み合わせの数 $2^{n}$ や受精卵の組み合わせの数を求め、子の染色体のうち祖父・祖母に由来するものが何本になる確率を反復試行の確率で求められる

前提

独立な試行と反復試行（数学A 場合の数と確率）
減数分裂の過程（高校生物遺伝と生殖・発生（知識））

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算数中学高校大学大学院

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減数分裂の過程（高校生物遺伝と生殖・発生（知識））

説明

減数分裂では相同染色体の各対が互いに無関係に分かれて配偶子に入るので、1 個体から染色体の組み合わせの異なる多くの種類の配偶子ができます。この技能では、 $2 n$ の生物がつくる配偶子の染色体の組み合わせが $2^{n}$ 通りあること、受精でできる受精卵の組み合わせが $2^{n} \times 2^{n}$ 通りあることを求めます。さらに、配偶子や子の染色体のうち、祖父・祖母に由来するものが何本になるかの確率を、反復試行の確率で求められるようにします。

なぜそうしてよいのか

ある個体（ $2 n$ ）がもつ $n$ 対の相同染色体は、どの対も一方が父から、他方が母から受け継いだものです。前提の技能で学んだように、減数分裂の第一分裂では、各対の相同染色体が分かれて別々の細胞に入ります。このとき、ある対で父由来の染色体がどちらの細胞に行くかは、ほかの対の分かれ方とは無関係です。つまり配偶子には、各対から「父由来か母由来か」のどちらか 1 本が入り、その選び方は対ごとに独立です。

1 対ごとに 2 通りの選び方があり、それが $n$ 対あるので、積の法則により配偶子の染色体の組み合わせは
$n 個 2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^{n} 通り$
になります（ここでは乗換えを考えません）。卵と精子がそれぞれ $2^{n}$ 通りあり、どの卵とどの精子が受精するかも互いに独立なので、受精卵の染色体の組み合わせは $2^{n} \times 2^{n} = 2^{2 n}$ 通りです。たとえばヒト（ $2 n = 46$ ）では、配偶子だけで $2^{23}$ （約 840 万）通りになります。

さらに、各対で父由来・母由来のどちらが配偶子に入るかはそれぞれ確率 $\frac{1}{2}$ で、対どうしは独立です。そこで、ある個体の配偶子に含まれる $n$ 本の染色体のうち、その個体の父（子から見た祖父）に由来するものがちょうど $r$ 本になる確率は、「確率 $\frac{1}{2}$ の試行を $n$ 回くり返して $r$ 回起こる」反復試行の確率として
$_{n} C_{r} (\frac{1}{2})^{r} (\frac{1}{2})^{n - r} =_{n} C_{r} (\frac{1}{2})^{n}$
と求められます。

手順

問題の生物の染色体数 $2 n$ から、相同染色体の対の数 $n$ を求める。
乗換えを考えないこと、各対の分配が独立で、父由来・母由来がそれぞれ確率 $\frac{1}{2}$ で配偶子に入ることを確かめる。
配偶子の組み合わせの数は $2^{n}$ 、受精卵の組み合わせの数は $2^{n} \times 2^{n} = 2^{2 n}$ として求める。
「祖父（または祖母）に由来する染色体が $r$ 本」の確率は、 $n$ 対それぞれで祖父由来が入るかどうかを 1 回の試行とみて、反復試行の確率 $_{n} C_{r} (\frac{1}{2})^{n}$ で求める。
問われているのが「配偶子の中の本数」か「子（受精卵）の中の本数」かを確かめる。子の $2 n$ 本のうち父方から来るのは精子の $n$ 本だけなので、父方の祖父由来の本数は精子の中の本数と同じになる。

例題

体細胞の染色体数が $2 n = 8$ のある動物の個体 P を考える。P がもつ 4 対の相同染色体は、どの対も一方が P の父に、他方が P の母に由来する。P が減数分裂によって配偶子をつくるとき、乗換えは起こらず、各対の相同染色体は互いに独立に、父由来・母由来のどちらもそれぞれ確率 $\frac{1}{2}$ で配偶子に入るものとする。P の配偶子 1 個に含まれる 4 本の染色体のうち、ちょうど 2 本が P の父に由来する確率を求めよ。

例題の解答

手順 1： $2 n = 8$ より $n = 4$ 。配偶子には 4 本の染色体が入る。

手順 2：乗換えは起こらず、各対で P の父由来の染色体が配偶子に入る確率は $\frac{1}{2}$ 、対どうしは独立。

手順 3：（参考）配偶子の組み合わせは $2^{4} = 16$ 通りある。

手順 4：4 対それぞれで「P の父由来が入る」を 1 回の試行とみると、確率 $\frac{1}{2}$ の試行を 4 回くり返してちょうど 2 回起こる確率なので、
$_{4} C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2} = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{3}{8}$

手順 5：問われているのは配偶子の中の本数なので、このまま答えとする。

答え: $\frac{3}{8}$

よくある誤り

配偶子の組み合わせの数を $2 n$ 通りや $n^{2}$ 通りとしてしまう誤り。正しくは、 $n$ 対それぞれに 2 通りの選び方があるので $2^{n}$ 通り（ $2 n = 8$ なら $2^{4} = 16$ 通り）。
受精卵の組み合わせの数を $2^{n} + 2^{n}$ や $2 \times 2^{n}$ としてしまう誤り。正しくは、卵と精子の組み合わせなので積をとって $2^{n} \times 2^{n} = 2^{2 n}$ 通り（ $2 n = 8$ なら $16 \times 16 = 256$ 通り）。
反復試行の確率で $_{n} C_{r}$ を掛け忘れる誤り（ $n = 4, r = 2$ で $(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$ とする）。正しくは、どの 2 対で父由来が入るかが $_{4} C_{2} = 6$ 通りあるので $_{4} C_{2} (\frac{1}{2})^{4} = \frac{3}{8}$ 。
第二分裂で分かれる染色分体まで別々に数えて、選び方を 1 対あたり 4 通りとしてしまう誤り。正しくは、乗換えがなければ姉妹染色分体は同じ内容なので、1 対あたりの違いは「父由来か母由来か」の 2 通りだけ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
体細胞の染色体数が $2 n = 10$ のある動物がいる。この動物の体細胞には、父親に由来する染色体と母親に由来する染色体からなる相同染色体が 5 組ある。
この動物が減数分裂によって配偶子をつくるとき、配偶子に入る染色体の組み合わせ（どの相同染色体について、父親由来と母親由来のどちらが入るかの組み合わせ）は何通りあるか。ただし、乗換え（交さ）は起こらないものとし、各組の相同染色体は互いに独立に配偶子へ分配されるものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

乗換えと配偶子の種類（高校生物遺伝と生殖・発生）