フェーザ表示と複素インピーダンス

正弦波の電圧・電流をフェーザ（複素数）で表し、 $R$ , $j ω L$ , $\frac{1}{j ω C}$ の直列・並列の合成で回路の複素インピーダンス・アドミタンスを求めて、電流の大きさと電圧に対する位相差を求められる

前提

コイル・コンデンサーのリアクタンスと位相（高校物理電磁気と交流）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）

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算数中学高校大学大学院

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オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）

説明

同じ角周波数 $ω$ で振動する正弦波の電圧・電流を、大きさと位相をまとめた 1 つの複素数（フェーザ）で表す方法です。すると抵抗・コイル・コンデンサーはそれぞれ $R$ 、 $j ω L$ 、 $\frac{1}{j ω C}$ という複素数（複素インピーダンス）で表され、直流回路の抵抗と同じ規則で直列・並列に合成できます。合成したインピーダンスの絶対値から電流の大きさが、偏角から電圧に対する電流の位相差が求まるので、RLC が混ざった交流回路を三角関数の加法定理を使わずに解けます。電気回路では電流の記号 $i$ と区別するため、虚数単位を $j$ （ $j^{2} = - 1$ ）と書きます。

なぜそうしてよいのか

正弦波を複素数に置きかえる。 実効値 $V$ 、初期位相 $φ$ の電圧 $v (t) = 2 V cos (ω t + φ)$ は、オイラーの公式より $v (t) = Re [2 V e^{j φ} e^{j ω t}]$ と書けます。回路のどこでも角周波数 $ω$ は共通なので、毎回付く $2 e^{j ω t}$ を省き、残りの複素数 $V ˙ = V e^{j φ}$ だけで正弦波を表します。これがフェーザで、絶対値が実効値、偏角が位相です（この単元では実効値フェーザを使います）。同じ $ω$ の正弦波の和は、フェーザの和に対応します。

微分が $j ω$ 倍になる。 $\frac{d}{d t} e^{j ω t} = j ω e^{j ω t}$ なので、時間微分はフェーザでは $j ω$ を掛けることに対応します。コイルでは $v = L \frac{d i}{d t}$ から $V ˙ = j ω L I ˙$ 、コンデンサーでは $i = C \frac{d v}{d t}$ から $I ˙ = j ω C V ˙$ 、すなわち $V ˙ = \frac{1}{j ω C} I ˙$ です。抵抗は $V ˙ = R I ˙$ のままです。どの素子も「 $V ˙ = Z ˙ I ˙$ 」というオームの法則の形になり、 $Z ˙$ を複素インピーダンス、その逆数 $Y ˙ = 1/ Z ˙$ をアドミタンスといいます。 $j = e^{j π /2}$ を掛けると偏角が $\frac{π}{2}$ 増えるので、コイルでは電圧が電流より $\frac{π}{2}$ 進み、 $\frac{1}{j} = - j = e^{- j π /2}$ のコンデンサーでは $\frac{π}{2}$ 遅れます。これは前提の技能で学んだ位相の関係そのものです。

合成と読みとり。 直列では各素子に共通の $I ˙$ が流れて電圧が足し合わされるので $Z ˙ = Z ˙_{1} + Z ˙_{2} + \dots$ 、並列では共通の $V ˙$ がかかって電流が足し合わされるので $Y ˙ = Y ˙_{1} + Y ˙_{2} + \dots$ です。合成インピーダンスを極形式 $Z ˙ = ∣ Z ˙ ∣ e^{j θ}$ にすると、 $I ˙ = \frac{V ˙}{Z ˙}$ より電流の実効値は $\frac{V}{∣ Z ˙ ∣}$ 、電流の位相は電圧より $θ$ だけ遅れます（ $θ < 0$ なら $∣ θ ∣$ だけ進む）。 $Z ˙ = R + j X$ のとき $∣ Z ˙ ∣ = R^{2} + X^{2}$ 、 $tan θ = \frac{X}{R}$ です。

手順

電源電圧をフェーザ $V ˙ = V e^{j φ}$ （ $V$ は実効値）で表す。位相の基準を電源電圧にとるなら $V ˙ = V$
各素子のインピーダンスを書く： $R$ 、 $j ω L$ 、 $\frac{1}{j ω C} = - \frac{j}{ω C}$
直列はインピーダンスを、並列はアドミタンス $Y ˙ = 1/ Z ˙$ を足して、合成インピーダンス $Z ˙ = R^{'} + j X^{'}$ を求める
$∣ Z ˙ ∣ = R^{'2} + X^{'2}$ と偏角 $θ$ （ $tan θ = X^{'} / R^{'}$ ）を求める
電流の実効値 $I = \frac{V}{∣ Z ˙ ∣}$ 、電流の位相は電圧より $θ$ だけ遅れる（ $θ < 0$ なら進む）として答える

例題

実効値 $100 V$ 、角周波数 $ω = 500 rad/s$ の正弦波交流電源に、抵抗 $R = 30 Ω$ 、自己インダクタンス $L = 0.12 H$ のコイル、電気容量 $C = 100 μ F$ のコンデンサーを直列につないだ。回路を流れる電流の実効値 $I$ （単位 A）と、電源電圧に対する電流の位相の遅れ $ϕ$ （ $- \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}$ 、単位 rad）を、この順に組で求めよ。

例題の解答

手順 1（電源のフェーザ）：電源電圧を位相の基準にとり $V ˙ = 100$ 。

手順 2（各素子のインピーダンス）： $R = 30$ 、 $j ω L = j \times 500 \times 0.12 = j 60$ 、 $\frac{1}{j ω C} = \frac{1}{j \times 500 \times 100 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{j \times 0.05} = - j 20$ （単位 $Ω$ ）。

手順 3（直列の合成）： $Z ˙ = 30 + j 60 - j 20 = 30 + j 40$ 。

手順 4（大きさと偏角）： $∣ Z ˙ ∣ = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 50$ 、 $tan θ = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$ で $0 < θ < \frac{π}{2}$ なので $θ = arctan \frac{4}{3}$ 。

手順 5（電流）： $I ˙ = \frac{V ˙}{Z ˙} = \frac{100}{50 e ^{j θ}} = 2 e^{- j θ}$ 。よって電流の実効値は $I = 2 A$ 、電流は電圧より $ϕ = θ = arctan \frac{4}{3}$ だけ遅れる（リアクタンスが正で、コイルの性質が勝っている）。

答え: $(2, arctan \frac{4}{3})$

よくある誤り

インピーダンスの大きさを各素子の値の単純な和にして $∣ Z ˙ ∣ = R + ω L + \frac{1}{ω C} = 30 + 60 + 20 = 110 Ω$ としてしまう誤り。位相の違う電圧は複素数として足すので、正しくは $Z ˙ = 30 + j (60 - 20)$ 、 $∣ Z ˙ ∣ = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 50 Ω$
コンデンサーのインピーダンスを $+ \frac{j}{ω C}$ としてしまう誤り。 $\frac{1}{j} = - j$ なので、正しくは $\frac{1}{j ω C} = - \frac{j}{ω C}$ で、コイルのリアクタンスと打ち消し合う向きに入る
並列接続でもインピーダンスを足して $Z ˙ = Z ˙_{1} + Z ˙_{2}$ としてしまう誤り。並列ではアドミタンスを足し、正しくは $\frac{1}{Z ˙} = \frac{1}{Z ˙ _{1}} + \frac{1}{Z ˙ _{2}}$ （例： $R$ と $C$ の並列は $Y ˙ = \frac{1}{R} + j ω C$ ）
$Z ˙$ の偏角 $θ$ を「電流が電圧より進む角」と読んでしまう誤り。 $I ˙ = V ˙ / Z ˙$ で偏角は引き算になるので、正しくは $θ > 0$ （誘導性）なら電流は電圧より $θ$ 遅れ、 $θ < 0$ （容量性）なら $∣ θ ∣$ 進む

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
実効値 $100 V$ 、角周波数 $ω = 1000 rad/s$ の正弦波交流電源に、抵抗 $R = 30 Ω$ と自己インダクタンス $L = 40 mH$ のコイルを直列につないだ。回路は定常状態にあり、コイルの抵抗と導線の抵抗、電源の内部インピーダンスは無視する。
複素インピーダンスを用いて、回路を流れる電流の実効値 $I$ （A）と、電源電圧に対する電流の位相の遅れ $φ$ （rad、 $0 \leq φ < \frac{π}{2}$ ）を求め、組 $(I, φ)$ の形で答えよ。
$100 V$ （実効値） $R = 30 Ω$ $L = 40 mH$
角周波数 $ω = 1000 rad/s$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

有効電力・無効電力と力率（大学物理電気回路）
直列共振・並列共振と Q 値（大学物理電気回路）