電気回路の問題

4 つの節点 $\mathrm{N}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{K}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{N}$ と $\mathrm{P}$ の間に、正弦波交流電源をつなぐ。電源の起電力の実効値は $E=3\mathrm{V}$ で、角周波数 $\omega$ を変えても一定である。電源は内部抵抗 $r=8\Omega$ をもつ（起電力と $r$ が直列につながったものとみなす）。
• 節点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{M}$ の間に、抵抗値 $R=12\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{M}$ と $\mathrm{K}$ の間に、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル（巻線抵抗は無視できる）をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{K}$ と $\mathrm{N}$ の間に、電気容量 $C=1\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

回路は定常状態にあり、素子はすべて線形で理想的とし、導線の抵抗は無視する。電源の角周波数 $\omega$（$\omega >0$）を変えていくと、コンデンサーの両端（節点 $\mathrm{K}$, $\mathrm{N}$ の間）の電圧の実効値 $V_C$ が最大になる。$V_C$ が最大になる角周波数 $\omega$（単位 $rad/s$）と、そのときの $V_C$ の値（単位 $\mathrm{V}$）を、この順に組で、根号を含む正確な値で求めよ。

節点 $\mathrm{N}$, $\mathrm{X}$, $\mathrm{Y}$, $\mathrm{Z}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{N}$ と $\mathrm{X}$ の間に、内部インピーダンスの無視できる正弦波交流電源をつなぐ。電源電圧の実効値は $V=2\mathrm{V}$ で一定であり、角周波数 $\omega$ は自由に変えられる。
• 節点 $\mathrm{X}$ と $\mathrm{Y}$ の間に、抵抗値 $R=10\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{Y}$ と $\mathrm{Z}$ の間に、自己インダクタンス $L=20\mathrm{mH}$ のコイルをつなぐ。コイルの巻線抵抗は無視する。
• 節点 $\mathrm{Z}$ と $\mathrm{N}$ の間に、静電容量 $C=0.5\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

この回路は直列 RLC 回路である。電源の角周波数 $\omega$ を回路の共振角周波数に合わせ、回路が定常状態になったとき、コンデンサーの両端の電圧の実効値は何 V か。整数で求めよ。

抵抗 $R=10\Omega$、自己インダクタンス $L=0.10\mathrm{H}$ のコイル、電気容量 $C=10\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列につなぎ、角周波数を変えられる正弦波交流電源につないだ。コイルの抵抗と導線の抵抗、電源の内部インピーダンスは無視する。

この直列共振回路の共振角周波数を ${\omega }_0$ とするとき、Q 値 $Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}$ を求めよ。

節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{G}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{G}$ の間に、角周波数 $\omega =400rad/s$ の正弦波交流電源がある。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、抵抗値 $R_0=16\Omega$ の抵抗がある。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、値のわからない抵抗 $R$ ($R>0$) と自己インダクタンス $L$ ($L>0$) のコイルを直列につないだ負荷がある。

内部インピーダンスが無限大とみなせる理想的な交流電圧計で各節点間の電圧の実効値を測ったところ、$\mathrm{A}$-$\mathrm{G}$ 間が $78\mathrm{V}$、$\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間が $32\mathrm{V}$、$\mathrm{B}$-$\mathrm{G}$ 間が $50\mathrm{V}$ であった。

次に、節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、負荷と並列に静電容量 $C$ のコンデンサーをつなぐ。角周波数 $\omega =400rad/s$ において、$\mathrm{B}$-$\mathrm{G}$ 間から見た合成インピーダンス（負荷とコンデンサーの並列）の力率がちょうど $1$ になるような $C$ の値を、$\mu \mathrm{F}$ 単位で求めよ。素子はすべて線形で理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。

角周波数 $\omega =1000rad/s$ の正弦波交流電源が、節点 $\mathrm{A}$ と節点 $\mathrm{B}$ の間につながれている。$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間には、次の 2 つの枝が並列につながれている。

• 枝 1: 抵抗 $R=6\Omega$ と自己インダクタンス $L=8\mathrm{mH}$ のコイルを直列につないだもの
• 枝 2: 静電容量 $C=40\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー

素子はすべて理想的なもの（コイルの抵抗・コンデンサーの漏れ電流はない）とし、導線と電源の内部インピーダンスは無視する。回路は定常状態にあるとする。電源から見た回路全体の力率を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。