実効値 、角周波数 の正弦波交流電源に、抵抗 と自己インダクタンス のコイルを直列につないだ。回路は定常状態にあり、コイルの抵抗・導線の抵抗・電源の内部インピーダンスは無視する。
電源電圧の実効値フェーザを 、回路を流れる電流の実効値フェーザを とし、電源が回路に供給する複素電力を （ は の共役複素数）で定める。有効電力 （W）と無効電力 （var）を求め、組 の形で答えよ。
（実効値）
有効電力・無効電力と力率
実効値のフェーザから複素電力 を計算し、有効電力 、無効電力、皮相電力と回路全体の力率 を、直列・並列の混ざった回路で求められる
前提
- フェーザ表示と複素インピーダンス （大学物理 電気回路）
- 交流の電力・力率と可変抵抗の最大電力 （高校物理 電磁気と交流）
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- 交流の電力・力率と可変抵抗の最大電力 （高校物理 電磁気と交流）
説明
交流回路では、電源が送り出す「電圧の実効値 × 電流の実効値」のうち、抵抗で熱などとして実際に消費されるのは一部だけで、残りはコイルやコンデンサーとの間を行き来するだけです。この技能では、実効値のフェーザ , から複素電力 （ は の共役複素数）を計算し、その実部の有効電力 、虚部の無効電力 、絶対値の皮相電力 、および力率 を、直列・並列の混ざった回路でもまとめて求められるようにします。送電や電気機器で、どれだけの電流を流してどれだけの仕事をしているかを評価する場面で使います。
なぜそうしてよいのか
電圧と電流を , （ は実効値）とすると、積和の公式より
となり、第 2 項は 1 周期で平均すると 0 なので、平均電力は （ は電流に対する電圧の位相の進み）です。一方、実効値のフェーザ , について、共役をとった を使うと
となり、実部がちょうど平均電力になります。共役をとるのは、位相の「差」 を取り出すためです。そこで を有効電力（単位 W）、 を無効電力（単位 var）、 を皮相電力（単位 V·A）、 を力率と呼びます。 は、コイルやコンデンサーとの間を往復するだけで平均すると消費されないエネルギーのやりとりの大きさを表します。
回路全体のインピーダンスを とすると なので、 です。よって 、（誘導性 なら 、容量性なら ）、力率は となります。また、エネルギーの保存から、回路全体の は各抵抗の の和に、 も各素子の の和に等しくなります（ は複素数として足し合わせられる）。ただし皮相電力 は一般には足し合わせられません。
手順
電圧・電流が実効値で与えられているか確かめる（最大値なら で割って実効値に直す）
各枝の複素インピーダンスを求め、各枝の電流フェーザ と全電流 を求める
電源について複素電力 を計算する（電流は共役をとる）
、、皮相電力 を読み取る。確かめとして を使う
力率を （または全体のインピーダンス から ）で求める
例題
実効値 の正弦波交流電圧源（電圧のフェーザを とする）の両端に、2 つの枝が並列に接続されている。枝 1 は抵抗 とリアクタンス のコイルの直列（インピーダンス ）、枝 2 は抵抗 とリアクタンス のコンデンサーの直列（インピーダンス ）である。回路全体の力率を求めよ。根号を含む正確な値で答えること。
例題の解答
手順 1: 電圧は実効値で と与えられている。
手順 2: 各枝の電流は
全電流は 。
手順 3: 複素電力は
手順 4: 、（正なので全体として誘導性）、。確かめ: , より で一致する。
手順 5: 力率は
答え:
よくある誤り
共役をとらずに と計算してしまう誤り。例題では となり、無効電力の符号が逆（容量性に見える）になる。正しくは
最大値のフェーザのまま を計算してしまう誤り。最大値 , を使うと値が 2 倍になる。正しくは実効値を使うか、 とする
各枝の皮相電力や力率をそのまま足したり平均したりしてしまう誤り。例題では , だが、全体の は ではなく 。足せるのは と （複素数の ）であり、力率は全体の で求める
有効電力を や としてしまう誤り。消費されるのは抵抗分だけなので、正しくは
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
角周波数 、電圧の実効値 の正弦波交流電源に、抵抗 、自己インダクタンス のコイル、電気容量 のコンデンサーをこの順に直列につなぎ、電源の両端に接続した（電源・抵抗・コイル・コンデンサーが 1 つの閉回路をつくる）。素子はすべて理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。回路は定常状態にあるとする。
この回路で消費される有効電力は何 か。整数で求めよ。
100 V, 1000 rad/s Ω mH μF角周波数 の正弦波交流電源が、節点 と節点 の間につながれている。 と の間には、次の 2 つの枝が並列につながっている。
- 枝 1: 節点 と節点 の間に抵抗 、節点 と節点 の間に自己インダクタンス のコイル（巻線抵抗は無視できる）
- 枝 2: 節点 と節点 の間に静電容量 のコンデンサー
電源から見た回路全体の力率が になるような の値は何 か。整数で答えよ。ただし、電源の内部インピーダンスと導線のインピーダンスは無視できる。
節点 , , をもつ次の交流回路を考える。
- 節点 と の間に、角周波数 の正弦波交流電源がある。
- 節点 と の間に、抵抗値 の抵抗がある。
- 節点 と の間に、値のわからない抵抗 () と自己インダクタンス () のコイルを直列につないだ負荷がある。
内部インピーダンスが無限大とみなせる理想的な交流電圧計で各節点間の電圧の実効値を測ったところ、- 間が 、- 間が 、- 間が であった。
次に、節点 と の間に、負荷と並列に静電容量 のコンデンサーをつなぐ。角周波数 において、- 間から見た合成インピーダンス（負荷とコンデンサーの並列）の力率がちょうど になるような の値を、 単位で求めよ。素子はすべて線形で理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。
電圧計と、あとでつなぐコンデンサーは省略している 角周波数 の正弦波交流電源が、節点 と節点 の間につながれている。 と の間には、次の 2 つの枝が並列につながれている。
- 枝 1: 抵抗 と自己インダクタンス のコイルを直列につないだもの
- 枝 2: 静電容量 のコンデンサー
素子はすべて理想的なもの（コイルの抵抗・コンデンサーの漏れ電流はない）とし、導線と電源の内部インピーダンスは無視する。回路は定常状態にあるとする。電源から見た回路全体の力率を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。
角周波数 、電圧の実効値 の正弦波交流電源が、節点 と節点 の間につながれている。素子は次のようにつながれている。
- 節点 と節点 の間に、抵抗 （配線の抵抗を表す）
- 節点 と節点 の間に、抵抗 と自己インダクタンス のコイルを直列につないだもの（負荷）
- 節点 と節点 の間に、負荷と並列に静電容量 のコンデンサー
電源の内部インピーダンスは無視でき、コイルとコンデンサーは理想的な素子（抵抗をもたない）とする。 の値を、電源から流れ出る電流が電源電圧と同位相になる（電源から見た回路の力率が になる）ように選んだ。このとき、抵抗 で消費される有効電力は何 か。正確な値（分数）で答えよ。