電気回路の問題

角周波数 $\omega =1000rad/s$ の正弦波交流電源が、節点 $\mathrm{A}$ と節点 $\mathrm{B}$ の間につながれている。$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間には、次の 2 つの枝が並列につながれている。

• 枝 1: 抵抗 $R=6\Omega$ と自己インダクタンス $L=8\mathrm{mH}$ のコイルを直列につないだもの
• 枝 2: 静電容量 $C=40\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー

素子はすべて理想的なもの（コイルの抵抗・コンデンサーの漏れ電流はない）とし、導線と電源の内部インピーダンスは無視する。回路は定常状態にあるとする。電源から見た回路全体の力率を求めよ。答えは根号を含む正確な値で答えよ。

角周波数 $\omega =500rad/s$ の正弦波交流電源が、節点 $\mathrm{A}$ と節点 $\mathrm{B}$ の間につながれている。$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間には、次の 2 つの枝が並列につながっている。

• 枝 1: 節点 $\mathrm{A}$ と節点 $\mathrm{P}$ の間に抵抗 $R=6\Omega$、節点 $\mathrm{P}$ と節点 $\mathrm{B}$ の間に自己インダクタンス $L=16\mathrm{mH}$ のコイル（巻線抵抗は無視できる）
• 枝 2: 節点 $\mathrm{A}$ と節点 $\mathrm{B}$ の間に静電容量 $C$ のコンデンサー

電源から見た回路全体の力率が $1$ になるような $C$ の値は何 $\mu \mathrm{F}$ か。整数で答えよ。ただし、電源の内部インピーダンスと導線のインピーダンスは無視できる。

巻線抵抗をもつコイルとコンデンサーを並列につないだ共振回路（タンク回路）を考える。節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$ をもつ次の回路を作る。

• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{P}$ の間に自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル
• 節点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{B}$ の間に抵抗 $r=10\Omega$（コイルの巻線抵抗を表す）
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に静電容量 $C=1\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、内部インピーダンスの無視できる角周波数 $\omega$ の正弦波交流電源（電圧の実効値 $10\mathrm{V}$）

$\omega >0$ を変えていくと、電源から流れ出る電流の位相が電源電圧の位相と一致する $\omega$ がただ 1 つある。この角周波数を ${\omega }_0$（単位 $rad/s$）、$\omega ={\omega }_0$ のときに電源から流れ出る電流の実効値を $I_0$（単位 $\mathrm{A}$）とする。組 $({\omega }_0,I_0)$ をこの順に、根号や分数を用いた正確な値で求めよ。

節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{G}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{G}$ の間に、角周波数 $\omega =400rad/s$ の正弦波交流電源がある。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、抵抗値 $R_0=16\Omega$ の抵抗がある。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、値のわからない抵抗 $R$ ($R>0$) と自己インダクタンス $L$ ($L>0$) のコイルを直列につないだ負荷がある。

内部インピーダンスが無限大とみなせる理想的な交流電圧計で各節点間の電圧の実効値を測ったところ、$\mathrm{A}$-$\mathrm{G}$ 間が $78\mathrm{V}$、$\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間が $32\mathrm{V}$、$\mathrm{B}$-$\mathrm{G}$ 間が $50\mathrm{V}$ であった。

次に、節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、負荷と並列に静電容量 $C$ のコンデンサーをつなぐ。角周波数 $\omega =400rad/s$ において、$\mathrm{B}$-$\mathrm{G}$ 間から見た合成インピーダンス（負荷とコンデンサーの並列）の力率がちょうど $1$ になるような $C$ の値を、$\mu \mathrm{F}$ 単位で求めよ。素子はすべて線形で理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。

角周波数 $\omega =1000rad/s$、電圧の実効値 $100\mathrm{V}$ の正弦波交流電源に、抵抗 $R=8\Omega$、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、電気容量 $C=250\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをこの順に直列につなぎ、電源の両端に接続した（電源・抵抗・コイル・コンデンサーが 1 つの閉回路をつくる）。素子はすべて理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。回路は定常状態にあるとする。

この回路で消費される有効電力は何 $\mathrm{W}$ か。整数で求めよ。