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電気回路の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理電気回路

節点 $A$ , $B$ , $G$ をもつ次の交流回路を考える。

節点 $A$ と $G$ の間に、角周波数 $ω = 400 rad/s$ の正弦波交流電源がある。
節点 $A$ と $B$ の間に、抵抗値 $R_{0} = 16 Ω$ の抵抗がある。
節点 $B$ と $G$ の間に、値のわからない抵抗 $R$ ( $R > 0$ ) と自己インダクタンス $L$ ( $L > 0$ ) のコイルを直列につないだ負荷がある。

内部インピーダンスが無限大とみなせる理想的な交流電圧計で各節点間の電圧の実効値を測ったところ、 $A$ - $G$ 間が $78 V$ 、 $A$ - $B$ 間が $32 V$ 、 $B$ - $G$ 間が $50 V$ であった。

次に、節点 $B$ と $G$ の間に、負荷と並列に静電容量 $C$ のコンデンサーをつなぐ。角周波数 $ω = 400 rad/s$ において、 $B$ - $G$ 間から見た合成インピーダンス（負荷とコンデンサーの並列）の力率がちょうど $1$ になるような $C$ の値を、 $μ F$ 単位で求めよ。素子はすべて線形で理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。

G

A

B

ω = 400 rad/s

R_{0} = 16 Ω

R

L

電圧計と、あとでつなぐコンデンサーは省略している

この問題で使うもの

フェーザ表示と複素インピーダンス（説明と入口の問題）
有効電力・無効電力と力率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（105 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

電流を基準にしたフェーザ図を考え、3 つの電圧計の読みから負荷の抵抗分 $R$ とリアクタンス $X = ω L$ を決めましょう。

ヒント 2

電流の実効値は $R_{0}$ の電圧から $2 A$ 。 $V ˙_{AG} = (32 + 2 R) + j 2 X$ とおき、 $∣ V ˙_{BG} ∣ = 50$ , $∣ V ˙_{AG} ∣ = 78$ の 2 式を立てます。並列接続はアドミタンスの和で考えます。

ヒント 3

2 式から $R = 20 Ω$ , $X = 15 Ω$ が得られます。 $\frac{1}{20 + j 15}$ の虚部とコンデンサーのサセプタンス $ω C$ を比べましょう。

答えと解説

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60

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解説を読む

1. 電流の大きさ

電圧計は理想的なので回路に電流を流さず、 $R_{0}$ と負荷には同じ電流が流れる。 $R_{0}$ の両端電圧の実効値が $32 V$ なので、電流の実効値は
$I = \frac{32}{16} = 2 A$

2. フェーザで負荷のインピーダンスを決める

電流のフェーザ（実効値表示）を基準にとり $I ˙ = 2$ とする。負荷の複素インピーダンスを $Z ˙ = R + j X$ （ $X = ω L > 0$ ）とおくと、
$V ˙_{AB} = 16 \cdot 2 = 32, V ˙_{BG} = 2 (R + j X)$
であり、キルヒホッフの電圧則より $V ˙_{AG} = V ˙_{AB} + V ˙_{BG} = (32 + 2 R) + j 2 X$ である。

$B$ - $G$ 間の測定値から
$4 R^{2} + 4 X^{2} = 5 0^{2} = 2500 (1)$
$A$ - $G$ 間の測定値から
$(32 + 2 R)^{2} + 4 X^{2} = 7 8^{2} = 6084 (2)$
$(2)$ を展開すると $1024 + 128 R + 4 R^{2} + 4 X^{2} = 6084$ で、 $(1)$ を代入して
$128 R = 6084 - 1024 - 2500 = 2560 \Rightarrow R = 20 Ω$
$(1)$ より $R^{2} + X^{2} = 625$ なので $X^{2} = 225$ 、 $X > 0$ （誘導性）より $X = 15 Ω$ 。よって $Z ˙ = 20 + j 15 Ω$ （このとき負荷の力率は $0.8$ ）。

3. 力率を 1 にする条件

並列回路はアドミタンスで考えると和になる。負荷のアドミタンスは
$Y ˙_{L} = \frac{1}{20 + j 15} = \frac{20 - j 15}{2 0 ^{2} + 1 5 ^{2}} = \frac{20 - j 15}{625} = 0.032 - j 0.024 S$
コンデンサーのアドミタンスは $j ω C$ なので、合成アドミタンスは
$Y ˙ = 0.032 + j (ω C - 0.024)$
合成インピーダンスの力率が $1$ となるのは、 $Y ˙$ （したがって $1/ Y ˙$ ）が実数になるとき、すなわち虚部が $0$ のときである。
$ω C = 0.024 \Rightarrow C = \frac{0.024}{400} = 6.0 \times 1 0^{- 5} F = 60 μ F$

なお、この条件は $B$ - $G$ 間の合成インピーダンスだけで決まり、電源電圧や $R_{0}$ には依存しない。

答え: $60 μ F$

別解

直列回路なので電流は共通。実効値で $I = 32/16 = 2 A$ 。
負荷のインピーダンスの大きさは $∣ Z ∣ = 50/2 = 25 Ω$ 、全体は $78/2 = 39 Ω$ 。
負荷を $Z = R + j X$ （ $X = ω L$ ）とおくと、
$R^{2} + X^{2} = 625$ 、 $(16 + R)^{2} + X^{2} = 1521$ 。
辺々引いて $256 + 32 R = 896$ より $R = 20 Ω$ 。
よって $X^{2} = 625 - 400 = 225$ 、 $X = 15 Ω$ （ $L > 0$ より正）。

並列にコンデンサーをつなぐと、負荷のアドミタンスは
$Y = \frac{1}{R + j X} = \frac{R - j X}{R ^{2} + X ^{2}}$ 。
コンデンサーのアドミタンスは $j ω C$ 。
力率 1 は合成アドミタンスの虚部が 0 になる条件なので、
$ω C = \frac{X}{R ^{2} + X ^{2}} = \frac{15}{625} = 0.024 S$ 。
$C = 0.024/400 = 6.0 \times 1 0^{- 5} F = 60 μ F$ 。

検算： $Y = (20 - 15 j) /625 + 0.024 j = 0.032 - 0.024 j + 0.024 j = 0.032$ で実数になる。また $R = 20$ のとき全体の大きさは $3 6^{2} + 1 5^{2} = 39$ となり測定値と一致する。

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