電気回路の問題

節点 $\mathrm{G}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、内部インピーダンスの無視できる正弦波交流電源をつなぐ。電源の電圧の実効値は $10\mathrm{V}$ で一定であり、角周波数 $\omega$ は $\omega >0$ の範囲で自由に変えられる。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、抵抗値 $R=20\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{D}$ の間に、自己インダクタンス $L=0.10\mathrm{H}$ のコイル（抵抗は無視できる）をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{D}$ と $\mathrm{G}$ の間に、電気容量 $C=10\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

回路は定常状態にあるとする。角周波数 $\omega$ を変えたとき、コンデンサーの両端（節点 $\mathrm{D}$ と $\mathrm{G}$ の間）の電圧の実効値の最大値は何 $\mathrm{V}$ か。根号を含む正確な値で求めよ。

4 つの節点 $\mathrm{N}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{K}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{N}$ と $\mathrm{P}$ の間に、正弦波交流電源をつなぐ。電源の起電力の実効値は $E=3\mathrm{V}$ で、角周波数 $\omega$ を変えても一定である。電源は内部抵抗 $r=8\Omega$ をもつ（起電力と $r$ が直列につながったものとみなす）。
• 節点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{M}$ の間に、抵抗値 $R=12\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{M}$ と $\mathrm{K}$ の間に、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル（巻線抵抗は無視できる）をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{K}$ と $\mathrm{N}$ の間に、電気容量 $C=1\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

回路は定常状態にあり、素子はすべて線形で理想的とし、導線の抵抗は無視する。電源の角周波数 $\omega$（$\omega >0$）を変えていくと、コンデンサーの両端（節点 $\mathrm{K}$, $\mathrm{N}$ の間）の電圧の実効値 $V_C$ が最大になる。$V_C$ が最大になる角周波数 $\omega$（単位 $rad/s$）と、そのときの $V_C$ の値（単位 $\mathrm{V}$）を、この順に組で、根号を含む正確な値で求めよ。

節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{K}$, $\mathrm{G}$ をもつ次の回路を考える。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、角周波数 $\omega$ を自由に変えられる正弦波交流電源（電圧の実効値 $V$ は $\omega$ によらず一定、内部インピーダンスは無視できる）
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{P}$ の間に、抵抗値 $R$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{K}$ の間に、自己インダクタンス $L$ のコイル（巻線抵抗は無視できる）
• 節点 $\mathrm{K}$ と $\mathrm{G}$ の間に、静電容量 $C$ のコンデンサー

ここで $R$, $L$, $C$ は正の定数で、この直列共振回路の Q 値を $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ と定める。$Q>\frac{1}{\sqrt{2}}$ とする。

回路が正弦波定常状態にあるとき、コンデンサーの両端（$\mathrm{K}$-$\mathrm{G}$ 間）の電圧の実効値を $V_C$ とする。$\omega$ を $\omega >0$ の範囲で変えたときの比 $\frac{V_C}{V}$ の最大値を、$Q$ を用いて表せ。

節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{G}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{G}$ の間に、角周波数 $\omega =400rad/s$ の正弦波交流電源がある。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、抵抗値 $R_0=16\Omega$ の抵抗がある。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、値のわからない抵抗 $R$ ($R>0$) と自己インダクタンス $L$ ($L>0$) のコイルを直列につないだ負荷がある。

内部インピーダンスが無限大とみなせる理想的な交流電圧計で各節点間の電圧の実効値を測ったところ、$\mathrm{A}$-$\mathrm{G}$ 間が $78\mathrm{V}$、$\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間が $32\mathrm{V}$、$\mathrm{B}$-$\mathrm{G}$ 間が $50\mathrm{V}$ であった。

次に、節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、負荷と並列に静電容量 $C$ のコンデンサーをつなぐ。角周波数 $\omega =400rad/s$ において、$\mathrm{B}$-$\mathrm{G}$ 間から見た合成インピーダンス（負荷とコンデンサーの並列）の力率がちょうど $1$ になるような $C$ の値を、$\mu \mathrm{F}$ 単位で求めよ。素子はすべて線形で理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。

角周波数 $\omega =1000rad/s$、電圧の実効値 $100\mathrm{V}$ の正弦波交流電源に、抵抗 $R=8\Omega$、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、電気容量 $C=250\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをこの順に直列につなぎ、電源の両端に接続した（電源・抵抗・コイル・コンデンサーが 1 つの閉回路をつくる）。素子はすべて理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。回路は定常状態にあるとする。

この回路で消費される有効電力は何 $\mathrm{W}$ か。整数で求めよ。