直列共振・並列共振と Q 値

インピーダンスやアドミタンスの虚部が 0 になる条件から共振角周波数を求め（巻線抵抗をもつコイルとコンデンサーの並列回路では $ω_{0} = \frac{1}{L C} - \frac{r ^{2}}{L ^{2}}$ など）、共振時の電流・インピーダンス、Q 値 $Q = \frac{ω _{0} L}{R}$ と帯域幅 $ω_{0} / Q$ を求められる

前提

フェーザ表示と複素インピーダンス（大学物理電気回路）
RLC 直列回路のインピーダンスと共振（高校物理電磁気と交流）

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算数中学高校大学大学院

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フェーザ表示と複素インピーダンス（大学物理電気回路）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
RLC 直列回路のインピーダンスと共振（高校物理電磁気と交流）

説明

コイルとコンデンサーを含む回路では、ある角周波数でコイルとコンデンサーの効果が打ち消し合い、回路全体のインピーダンスが純粋な抵抗になって、電源の電圧と電流が同位相になります。これを共振といいます。直列回路では共振で電流が最大になり、並列回路では電源から流れ込む電流がほぼ最小になります（理想的な $L C$ 並列では $∣ Z ∣ \to \infty$ で電流 0。巻線抵抗があると、同位相になる角周波数と電流が最小になる角周波数はわずかにずれる）。この技能では、インピーダンスまたはアドミタンス（インピーダンスの逆数 $Y = 1/ Z$ ）の虚部が 0 になる条件から共振角周波数 $ω_{0}$ を求め、共振時のインピーダンス・電流、共振の鋭さを表す Q 値と帯域幅を求めます。ラジオの選局（同調回路）やフィルタの設計で使います。

なぜそうしてよいのか

ここでは共振を「回路全体のインピーダンス $Z$ の虚部が 0（電圧と電流が同位相）」と定めます。 $Z \neq = 0$ なら $Y = 1/ Z = Z ˉ /∣ Z ∣^{2}$ なので、 $Z$ の虚部が 0 であることと $Y$ の虚部が 0 であることは同じです。直列につながった部分は $Z$ を足し、並列につながった部分は $Y$ を足すと式が簡単になるので、回路の形に合わせて使い分けます。直列 RLC では $Z = R + j (ω L - \frac{1}{ω C})$ の虚部を 0 とおいて $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ となります。このとき $∣ Z ∣ = R$ が最小なので、電流も最大です。

巻線抵抗 $r$ をもつコイルとコンデンサー $C$ の並列回路では、
$Y = j ω C + \frac{1}{r + j ω L} = \frac{r}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} + j (ω C - \frac{ω L}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}})$
です。虚部を 0 とおくと（ $ω > 0$ で割って） $r^{2} + ω^{2} L^{2} = \frac{L}{C}$ より $ω_{0} = \frac{1}{L C} - \frac{r ^{2}}{L ^{2}}$ が得られます。根号の中が正、つまり $r^{2} < \frac{L}{C}$ のときだけ共振が起こります。共振時は $Y = \frac{r}{L / C} = \frac{r C}{L}$ なので $Z = \frac{L}{r C}$ です。この回路では $Y$ の実部も $ω$ によって変わるので、 $∣ Y ∣$ （電源電流）が最小になる角周波数は $ω_{0}$ と厳密には一致しません。ただし $r$ が小さいほど両者は近づき、共振時の $∣ Z ∣ = \frac{L}{r C}$ は大きくなって、電流はほぼ最小になります。

直列 RLC で共振がどれだけ鋭いかを見るため、電流の大きさが共振時の $\frac{1}{2}$ 倍（消費電力 $I^{2} R$ が半分）になる角周波数を調べます。 $∣ Z ∣ = 2 R$ となるのは $ω L - \frac{1}{ω C} = \pm R$ のときで、両辺に $\frac{ω}{L}$ をかけると $ω^{2} \mp \frac{R}{L} ω - \frac{1}{L C} = 0$ です。それぞれの正の解を $ω_{2}$ （ $-$ の式）, $ω_{1}$ （ $+$ の式）とすると、解の公式から $ω_{2} - ω_{1} = \frac{R}{L}$ となります。そこで $Q = \frac{ω _{0} L}{R}$ と定めると、帯域幅は $ω_{2} - ω_{1} = \frac{ω _{0}}{Q}$ と書けます。 $Q$ が大きいほど帯域幅が狭く、共振が鋭くなります。

手順

回路全体のインピーダンス $Z$ （直列の部分が多いとき）またはアドミタンス $Y$ （並列の部分が多いとき）を $ω$ の式で書き、実部と虚部に分ける
虚部 $= 0$ とおいて $ω$ について解き、正の解を共振角周波数 $ω_{0}$ とする（根号の中が正になる条件も確かめる）。周波数は $f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π}$
$ω_{0}$ を代入して共振時のインピーダンス（純抵抗）を求め、電流 $I = V /∣ Z ∣$ などを計算する
直列 RLC では Q 値 $Q = \frac{ω _{0} L}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C}$ を求める
帯域幅（電力が共振時の半分になる 2 つの角周波数の差）を $Δ ω = \frac{ω _{0}}{Q}$ で求める

例題

自己インダクタンス $L = 0.1 H$ 、巻線抵抗 $r = 60 Ω$ のコイル（ $L$ と $r$ の直列とみなす）と、電気容量 $C = 10 μ F$ のコンデンサーが並列に接続され、その両端に正弦波交流電圧源がつながれている。電源から流れ込む電流と電源電圧が同位相になる角周波数を求めよ（単位は rad/s）。

例題の解答

手順 1: 並列回路なのでアドミタンスで考える。
$Y = j ω C + \frac{1}{r + j ω L} = \frac{r}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} + j (ω C - \frac{ω L}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}})$

手順 2: 電流と電圧が同位相 ⇔ $Y$ の虚部が 0。 $ω > 0$ より
$r^{2} + ω^{2} L^{2} = \frac{L}{C} \Rightarrow ω_{0}^{2} = \frac{1}{L C} - \frac{r ^{2}}{L ^{2}}$
数値を代入すると $\frac{1}{L C} = \frac{1}{0.1 \times 10 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.0 \times 1 0^{6}$ 、 $\frac{r ^{2}}{L ^{2}} = \frac{3600}{0.01} = 3.6 \times 1 0^{5}$ 。よって
$ω_{0}^{2} = 1.0 \times 1 0^{6} - 3.6 \times 1 0^{5} = 6.4 \times 1 0^{5}, ω_{0} = 800 rad/s$
（根号の中は正なので共振は起こる。）

手順 3（参考）: 共振時のインピーダンスは $Z = \frac{L}{r C} = \frac{0.1}{60 \times 10 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{500}{3} Ω$ の純抵抗になる。

答え: $800$

よくある誤り

巻線抵抗のあるコイルとコンデンサーの並列回路でも $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ としてしまう誤り。例題では $1000 rad/s$ となってしまう。正しくはアドミタンスの虚部を 0 とおいて $ω_{0} = \frac{1}{L C} - \frac{r ^{2}}{L ^{2}} = 800 rad/s$
並列共振でも電源電流が最大になるとしてしまう誤り。直列共振では $∣ Z ∣$ が最小で電流が最大になるが、並列共振では $Y$ の虚部が 0 になって $∣ Y ∣$ が小さくなり、電源電流は小さくなる（理想的な $L C$ 並列では $∣ Z ∣ \to \infty$ で電流 0）。ただし巻線抵抗 $r \neq = 0$ では電流が最小になる角周波数は $ω_{0}$ と厳密には一致せず、 $r$ が小さいほど最小に近い。例題では共振時の $∣ Z ∣ = \frac{L}{r C}$ は $r$ が小さいほど大きい
帯域幅の単位を混同する誤り。 $Δ ω = \frac{ω _{0}}{Q}$ は角周波数の幅（rad/s）で、周波数（Hz）の幅は $Δ f = \frac{f _{0}}{Q} = \frac{Δ ω}{2 π}$ 。例えば $ω_{0} = 1000 rad/s$ , $Q = 10$ なら $Δ ω = 100 rad/s$ で、 $Δ f = \frac{50}{π} Hz$ （ $100 Hz$ ではない）
Q 値を $Q = \frac{R}{ω _{0} L}$ と逆にしてしまう誤り。抵抗が小さいほど共振は鋭いので、正しくは直列 RLC で $Q = \frac{ω _{0} L}{R}$ （例: $L = 0.1 H$ , $ω_{0} = 1000 rad/s$ , $R = 10 Ω$ なら $Q = 10$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
抵抗 $R = 10 Ω$ 、自己インダクタンス $L = 0.10 H$ のコイル、電気容量 $C = 10 μ F$ のコンデンサーを直列につなぎ、角周波数を変えられる正弦波交流電源につないだ。コイルの抵抗と導線の抵抗、電源の内部インピーダンスは無視する。
この直列共振回路の共振角周波数を $ω_{0}$ とするとき、Q 値 $Q = \frac{ω _{0} L}{R}$ を求めよ。
$R = 10 Ω$ $L = 0.10 H$ $C = 10 μ F$

直列共振・並列共振と Q 値

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題