電気回路の問題

実効値 $100\mathrm{V}$、角周波数 $\omega =1000rad/s$ の正弦波交流電源に、抵抗 $R=30\Omega$ と自己インダクタンス $L=40\mathrm{mH}$ のコイルを直列につないだ。回路は定常状態にあり、コイルの抵抗と導線の抵抗、電源の内部インピーダンスは無視する。

複素インピーダンスを用いて、回路を流れる電流の実効値 $I$（A）と、電源電圧に対する電流の位相の遅れ $\phi$（rad、$0\le \phi <\frac{\pi }{2}$）を求め、組 $(I,\phi )$ の形で答えよ。

実効値 $100\mathrm{V}$、角周波数 $\omega =100rad/s$ の正弦波交流電源に、抵抗 $R=6\Omega$ と自己インダクタンス $L=80\mathrm{mH}$ のコイルを直列につないだ。回路は定常状態にあり、コイルの抵抗・導線の抵抗・電源の内部インピーダンスは無視する。

電源電圧の実効値フェーザを $\dot{V}$、回路を流れる電流の実効値フェーザを $\dot{I}$ とし、電源が回路に供給する複素電力を $S=\dot{V}\bar{\dot{I}}=P+jQ$（$\bar{\dot{I}}$ は $\dot{I}$ の共役複素数）で定める。有効電力 $P$（W）と無効電力 $Q$（var）を求め、組 $(P,Q)$ の形で答えよ。

角周波数 $\omega =1000rad/s$、電圧の実効値 $100\mathrm{V}$ の正弦波交流電源に、抵抗 $R=8\Omega$、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、電気容量 $C=250\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをこの順に直列につなぎ、電源の両端に接続した（電源・抵抗・コイル・コンデンサーが 1 つの閉回路をつくる）。素子はすべて理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。回路は定常状態にあるとする。

この回路で消費される有効電力は何 $\mathrm{W}$ か。整数で求めよ。

節点 $\mathrm{N}$, $\mathrm{X}$, $\mathrm{Y}$, $\mathrm{Z}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{N}$ と $\mathrm{X}$ の間に、内部インピーダンスの無視できる正弦波交流電源をつなぐ。電源電圧の実効値は $V=2\mathrm{V}$ で一定であり、角周波数 $\omega$ は自由に変えられる。
• 節点 $\mathrm{X}$ と $\mathrm{Y}$ の間に、抵抗値 $R=10\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{Y}$ と $\mathrm{Z}$ の間に、自己インダクタンス $L=20\mathrm{mH}$ のコイルをつなぐ。コイルの巻線抵抗は無視する。
• 節点 $\mathrm{Z}$ と $\mathrm{N}$ の間に、静電容量 $C=0.5\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

この回路は直列 RLC 回路である。電源の角周波数 $\omega$ を回路の共振角周波数に合わせ、回路が定常状態になったとき、コンデンサーの両端の電圧の実効値は何 V か。整数で求めよ。

起電力 $E=40\mathrm{V}$ の直流電源（内部抵抗は無視する）、スイッチ S、抵抗 $R=60\Omega$、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、電気容量 $C=4.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列につないだ回路がある。はじめ S は開いていて、コイルに電流は流れておらず（$i(0^{-})=0$）、コンデンサーは帯電していない（$v_C(0^{-})=0$）。時刻 $t=0$ に S を閉じた。

コイルの抵抗と導線の抵抗は無視する。回路を $s$ 領域で表してラプラス変換を用い、$t\ge 0$ で回路を流れる電流 $i(t)$（A）を、$t$（s）を用いて表せ。電流の向きは、電源の正極から抵抗・コイル・コンデンサーを通って負極へ流れる向きを正とする。