電気回路の問題

節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{K}$, $\mathrm{G}$ をもつ次の回路を考える。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、角周波数 $\omega$ を自由に変えられる正弦波交流電源（電圧の実効値 $V$ は $\omega$ によらず一定、内部インピーダンスは無視できる）
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{P}$ の間に、抵抗値 $R$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{K}$ の間に、自己インダクタンス $L$ のコイル（巻線抵抗は無視できる）
• 節点 $\mathrm{K}$ と $\mathrm{G}$ の間に、静電容量 $C$ のコンデンサー

ここで $R$, $L$, $C$ は正の定数で、この直列共振回路の Q 値を $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ と定める。$Q>\frac{1}{\sqrt{2}}$ とする。

回路が正弦波定常状態にあるとき、コンデンサーの両端（$\mathrm{K}$-$\mathrm{G}$ 間）の電圧の実効値を $V_C$ とする。$\omega$ を $\omega >0$ の範囲で変えたときの比 $\frac{V_C}{V}$ の最大値を、$Q$ を用いて表せ。

節点 $\mathrm{N}$, $\mathrm{X}$, $\mathrm{Y}$, $\mathrm{Z}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{N}$ と $\mathrm{X}$ の間に、内部インピーダンスの無視できる正弦波交流電源をつなぐ。電源電圧の実効値は $V=2\mathrm{V}$ で一定であり、角周波数 $\omega$ は自由に変えられる。
• 節点 $\mathrm{X}$ と $\mathrm{Y}$ の間に、抵抗値 $R=10\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{Y}$ と $\mathrm{Z}$ の間に、自己インダクタンス $L=20\mathrm{mH}$ のコイルをつなぐ。コイルの巻線抵抗は無視する。
• 節点 $\mathrm{Z}$ と $\mathrm{N}$ の間に、静電容量 $C=0.5\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

この回路は直列 RLC 回路である。電源の角周波数 $\omega$ を回路の共振角周波数に合わせ、回路が定常状態になったとき、コンデンサーの両端の電圧の実効値は何 V か。整数で求めよ。

4 つの節点 $\mathrm{N}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{K}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{N}$ と $\mathrm{P}$ の間に、正弦波交流電源をつなぐ。電源の起電力の実効値は $E=3\mathrm{V}$ で、角周波数 $\omega$ を変えても一定である。電源は内部抵抗 $r=8\Omega$ をもつ（起電力と $r$ が直列につながったものとみなす）。
• 節点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{M}$ の間に、抵抗値 $R=12\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{M}$ と $\mathrm{K}$ の間に、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル（巻線抵抗は無視できる）をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{K}$ と $\mathrm{N}$ の間に、電気容量 $C=1\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

回路は定常状態にあり、素子はすべて線形で理想的とし、導線の抵抗は無視する。電源の角周波数 $\omega$（$\omega >0$）を変えていくと、コンデンサーの両端（節点 $\mathrm{K}$, $\mathrm{N}$ の間）の電圧の実効値 $V_C$ が最大になる。$V_C$ が最大になる角周波数 $\omega$（単位 $rad/s$）と、そのときの $V_C$ の値（単位 $\mathrm{V}$）を、この順に組で、根号を含む正確な値で求めよ。

巻線抵抗をもつコイルとコンデンサーを並列につないだ共振回路（タンク回路）を考える。節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$ をもつ次の回路を作る。

• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{P}$ の間に自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル
• 節点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{B}$ の間に抵抗 $r=10\Omega$（コイルの巻線抵抗を表す）
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に静電容量 $C=1\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、内部インピーダンスの無視できる角周波数 $\omega$ の正弦波交流電源（電圧の実効値 $10\mathrm{V}$）

$\omega >0$ を変えていくと、電源から流れ出る電流の位相が電源電圧の位相と一致する $\omega$ がただ 1 つある。この角周波数を ${\omega }_0$（単位 $rad/s$）、$\omega ={\omega }_0$ のときに電源から流れ出る電流の実効値を $I_0$（単位 $\mathrm{A}$）とする。組 $({\omega }_0,I_0)$ をこの順に、根号や分数を用いた正確な値で求めよ。

4 つの節点 $\mathrm{G}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ をもつ、従属電源を含む次の直流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、内部抵抗の無視できる起電力 $20\mathrm{V}$ の直流電源をつなぐ。$\mathrm{A}$ 側が正極である。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に $4\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に $8\Omega$ の抵抗をつなぐ。この抵抗を $\mathrm{B}$ から $\mathrm{G}$ の向きに流れる電流を $I_x$ とする。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ の間に $2\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ の間に $6\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{C}$ の間に、電流制御電流源をつなぐ。この電流源は、両端の電圧によらず、大きさ $2I_x$ の電流を電流源の内部で $\mathrm{G}$ から $\mathrm{C}$ の向きに流す（$I_x$ が負のときは逆向きに $2|I_x|$ を流す）。

回路は定常状態にあり、導線の抵抗は無視できる。このとき、電流制御電流源が回路に供給する電力は何 $\mathrm{W}$ か。整数で求めよ。