電気回路の問題

節点 $\mathrm{G}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、内部インピーダンスの無視できる正弦波交流電源をつなぐ。電源の電圧の実効値は $10\mathrm{V}$ で一定であり、角周波数 $\omega$ は $\omega >0$ の範囲で自由に変えられる。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、抵抗値 $R=20\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{D}$ の間に、自己インダクタンス $L=0.10\mathrm{H}$ のコイル（抵抗は無視できる）をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{D}$ と $\mathrm{G}$ の間に、電気容量 $C=10\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

回路は定常状態にあるとする。角周波数 $\omega$ を変えたとき、コンデンサーの両端（節点 $\mathrm{D}$ と $\mathrm{G}$ の間）の電圧の実効値の最大値は何 $\mathrm{V}$ か。根号を含む正確な値で求めよ。

節点 $\mathrm{N}$, $\mathrm{X}$, $\mathrm{Y}$, $\mathrm{Z}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{N}$ と $\mathrm{X}$ の間に、内部インピーダンスの無視できる正弦波交流電源をつなぐ。電源電圧の実効値は $V=2\mathrm{V}$ で一定であり、角周波数 $\omega$ は自由に変えられる。
• 節点 $\mathrm{X}$ と $\mathrm{Y}$ の間に、抵抗値 $R=10\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{Y}$ と $\mathrm{Z}$ の間に、自己インダクタンス $L=20\mathrm{mH}$ のコイルをつなぐ。コイルの巻線抵抗は無視する。
• 節点 $\mathrm{Z}$ と $\mathrm{N}$ の間に、静電容量 $C=0.5\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

この回路は直列 RLC 回路である。電源の角周波数 $\omega$ を回路の共振角周波数に合わせ、回路が定常状態になったとき、コンデンサーの両端の電圧の実効値は何 V か。整数で求めよ。

角周波数 $\omega =1000rad/s$、電圧の実効値 $100\mathrm{V}$ の正弦波交流電源に、抵抗 $R=8\Omega$、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、電気容量 $C=250\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをこの順に直列につなぎ、電源の両端に接続した（電源・抵抗・コイル・コンデンサーが 1 つの閉回路をつくる）。素子はすべて理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。回路は定常状態にあるとする。

この回路で消費される有効電力は何 $\mathrm{W}$ か。整数で求めよ。

節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{G}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{G}$ の間に、角周波数 $\omega =400rad/s$ の正弦波交流電源がある。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、抵抗値 $R_0=16\Omega$ の抵抗がある。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、値のわからない抵抗 $R$ ($R>0$) と自己インダクタンス $L$ ($L>0$) のコイルを直列につないだ負荷がある。

内部インピーダンスが無限大とみなせる理想的な交流電圧計で各節点間の電圧の実効値を測ったところ、$\mathrm{A}$-$\mathrm{G}$ 間が $78\mathrm{V}$、$\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間が $32\mathrm{V}$、$\mathrm{B}$-$\mathrm{G}$ 間が $50\mathrm{V}$ であった。

次に、節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、負荷と並列に静電容量 $C$ のコンデンサーをつなぐ。角周波数 $\omega =400rad/s$ において、$\mathrm{B}$-$\mathrm{G}$ 間から見た合成インピーダンス（負荷とコンデンサーの並列）の力率がちょうど $1$ になるような $C$ の値を、$\mu \mathrm{F}$ 単位で求めよ。素子はすべて線形で理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。

節点 $\mathrm{G}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ をもつ次の回路を考える。素子はすべて理想的とし、導線の抵抗は無視する。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、内部抵抗の無視できる起電力 $E=12\mathrm{V}$ の直流電源がある（$\mathrm{A}$ 側が高電位）。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、スイッチ $\mathrm{S}$ と抵抗値 $R_1=10\Omega$ の抵抗が直列につながれている。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、静電容量 $C=1.0\mathrm{mF}$ のコンデンサーがある。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{D}$ の間に、自己インダクタンス $L=0.10\mathrm{H}$ のコイルがある。
• 節点 $\mathrm{D}$ と $\mathrm{G}$ の間に、抵抗値 $R_2=10\Omega$ の抵抗がある。

時刻 $t<0$ ではスイッチ $\mathrm{S}$ は開いており、コンデンサーは帯電しておらず、コイルに電流は流れていない。時刻 $t=0$ に $\mathrm{S}$ を閉じる。コイルを $\mathrm{B}$ から $\mathrm{D}$ の向きに流れる電流を $i_L(t)$ とする。

ラプラス変換を用いて $i_L(t)$ を求め、$t>0$ における $i_L(t)$ の最大値を、単位を $\mathrm{A}$ として正確な値で求めよ。