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電気回路の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電気回路

巻線抵抗をもつコイルとコンデンサーを並列につないだ共振回路（タンク回路）を考える。節点 $A$ , $B$ , $P$ をもつ次の回路を作る。

節点 $A$ と $P$ の間に自己インダクタンス $L = 10 mH$ のコイル
節点 $P$ と $B$ の間に抵抗 $r = 10 Ω$ （コイルの巻線抵抗を表す）
節点 $A$ と $B$ の間に静電容量 $C = 1 μ F$ のコンデンサー
節点 $A$ と $B$ の間に、内部インピーダンスの無視できる角周波数 $ω$ の正弦波交流電源（電圧の実効値 $10 V$ ）

$ω > 0$ を変えていくと、電源から流れ出る電流の位相が電源電圧の位相と一致する $ω$ がただ 1 つある。この角周波数を $ω_{0}$ （単位 $rad/s$ ）、 $ω = ω_{0}$ のときに電源から流れ出る電流の実効値を $I_{0}$ （単位 $A$ ）とする。組 $(ω_{0}, I_{0})$ をこの順に、根号や分数を用いた正確な値で求めよ。

A

P

B

10 V

（実効値）

L

r

C

この問題で使うもの

直列共振・並列共振と Q 値（説明と入口の問題）
フェーザ表示と複素インピーダンス（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（97 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

並列回路なので、インピーダンスよりアドミタンス（各枝のアドミタンスの和）で考えると計算しやすくなります。電流と電圧の位相が一致するのは、アドミタンスが実数になるときです。

ヒント 2

コイルと巻線抵抗の枝のアドミタンスは $\frac{1}{r + j ω L} = \frac{r - j ω L}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ です。これにコンデンサーの $j ω C$ を足し、虚部を $0$ とおきます。

ヒント 3

虚部が $0$ の条件から $ω_{0}^{2} = \frac{1}{L C} - \frac{r ^{2}}{L ^{2}}$ 、このとき $r^{2} + ω_{0}^{2} L^{2} = \frac{L}{C}$ となるので、アドミタンスの実部は $\frac{r C}{L}$ に簡単になります。

答えと解説

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(300011, \frac{1}{100})

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解説を読む

複素数表示（虚数単位を $j$ とする）で、節点 $A$ - $B$ 間から見た回路のアドミタンス $Y$ を求める。コイルと $r$ の直列部分のインピーダンスは $r + j ω L$ 、コンデンサーのアドミタンスは $j ω C$ であり、これらが並列なので
$Y = j ω C + \frac{1}{r + j ω L} = j ω C + \frac{r - j ω L}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} = \frac{r}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} + j (ω C - \frac{ω L}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}})$

位相が一致する条件

電源の内部インピーダンスは無視できるので、電源電圧 $V ˙$ と電流 $I ˙$ の関係は $I ˙ = Y V ˙$ である。両者の位相が一致するのは $Y$ の虚部が $0$ のときで、 $ω > 0$ より
$C = \frac{L}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} ⟺ ω^{2} = \frac{1}{L C} - \frac{r ^{2}}{L ^{2}}$
数値を代入すると $L = 1.0 \times 1 0^{- 2} H$ , $C = 1.0 \times 1 0^{- 6} F$ , $r = 10 Ω$ より
$\frac{1}{L C} = \frac{1}{1 0 ^{- 8}} = 1.00 \times 1 0^{8}, \frac{r ^{2}}{L ^{2}} = \frac{100}{1 0 ^{- 4}} = 1.0 \times 1 0^{6}$
$ω_{0}^{2} = 1 0^{8} - 1 0^{6} = 9.9 \times 1 0^{7} = 9 \times 1 0^{6} \times 11 ⟹ ω_{0} = 300011 rad/s$
（右辺は正なので、この $ω_{0}$ はただ 1 つ存在する。）

共振時の電流

$ω = ω_{0}$ では $r^{2} + ω_{0}^{2} L^{2} = \frac{L}{C}$ なので、 $Y$ は実数で
$Y_{0} = \frac{r}{r ^{2} + ω _{0}^{2} L ^{2}} = \frac{r C}{L} = \frac{10 \times 1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 2}} = 1.0 \times 1 0^{- 3} S$
つまり共振時のインピーダンスは $Z_{0} = \frac{L}{r C} = 1000 Ω$ の純抵抗になる。

なお、コイルの Q 値を $Q = \frac{ω _{0} L}{r}$ とすると $Q^{2} = \frac{ω _{0}^{2} L ^{2}}{r ^{2}} = \frac{9.9 \times 1 0 ^{7} \times 1 0 ^{- 4}}{100} = 99$ であり、 $Z_{0} = r (1 + Q^{2}) = 10 \times 100 = 1000 Ω$ とも表せる。 $Q$ が大きいほど共振時のインピーダンスは巻線抵抗 $r$ の約 $Q^{2}$ 倍に大きくなり、電源から流れ出る電流は小さくなる。

実効値どうしの関係 $I_{0} = ∣ Y_{0} ∣ \times 10 V$ より
$I_{0} = 1.0 \times 1 0^{- 3} \times 10 = \frac{1}{100} A$

したがって $(ω_{0}, I_{0}) = (300011, \frac{1}{100})$ 。

別解

コイルと $r$ の直列枝（ $A \to P \to B$ ）のインピーダンスは $Z_{1} = r + j ω L$ 、これにコンデンサー枝が並列につながる。合成アドミタンスは
$Y = \frac{1}{r + j ω L} + j ω C = \frac{r}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} + j (ω C - \frac{ω L}{r ^{2} + ω ^{2} L ^{2}})$ 。

電流が電源電圧と同位相になる条件は虚部が 0、すなわち $C (r^{2} + ω^{2} L^{2}) = L$ （ $ω > 0$ なので $ω$ で割った）。
$ω_{0}^{2} = \frac{1}{L C} - \frac{r ^{2}}{L ^{2}}$ 。
数値: $\frac{1}{L C} = \frac{1}{1 0 ^{- 2} \times 1 0 ^{- 6}} = 1 0^{8}$ 、 $\frac{r ^{2}}{L ^{2}} = \frac{100}{1 0 ^{- 4}} = 1 0^{6}$ なので $ω_{0}^{2} = 9.9 \times 1 0^{7}$ 。
$ω_{0} = 9.9 \times 1 0^{7} = 100099 = 300011 rad/s$ ( $\approx 9.95 \times 1 0^{3}$ )。

このとき $r^{2} + ω_{0}^{2} L^{2} = L / C = 1 0^{- 2} /1 0^{- 6} = 1 0^{4} Ω^{2}$ となるので、 $Y = \frac{r}{L / C} = \frac{r C}{L} = \frac{10}{1 0 ^{4}} = 1 0^{- 3} S$ （純コンダクタンス）。
$I_{0} = ∣ Y ∣ V = 1 0^{- 3} \times 10 = 1 0^{- 2} A = \frac{1}{100} A$ 。

検算: $ω_{0}^{2} L^{2} = 9.9 \times 1 0^{7} \times 1 0^{- 4} = 9900$ 、 $r^{2} + 9900 = 10000$ 。コイル枝の電流の無効分 $ω_{0} L /1 0^{4} = 0.0995 \times$ （ $V$ あたり）と、コンデンサー電流 $ω_{0} C = 9.95 \times 1 0^{- 3}$ が一致し打ち消し合う。

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