微分積分の問題

$i$ を虚数単位とする。オイラーの公式を用いて、複素数 $e^{\frac{3\pi }{4}i}$ を $a+bi$（$a$, $b$ は実数）の形で表せ。

$i$ を虚数単位とする。複素数
$$z=2e^{\frac{2\pi }{3}i}$$
を、実数 $a,b$ を用いて $a+bi$ の形で表せ。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x=2t+1,y=t^2$ とする（$t$ は実数）。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x$ と $y$ が実数 $t$ の関数として
$$x=t+1,y=t^2$$
で与えられているとする。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=\log (1+x)$ $(x>-1)$ について、$x=0$ における 3 次のテイラー多項式（マクローリン多項式）
$$P_3(x)=\sum _{k=0}^3\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。