微分積分の問題

多変数の連鎖律より、$z=f(x(t),y(t))$ のとき
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
が成り立つ。

手順1：$z$ の偏導関数を求める。
$$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy,\frac{\partial z}{\partial y}=x^2$$

手順2：$x,y$ を $t$ で微分する。
$$\frac{dx}{dt}=2,\frac{dy}{dt}=2t$$

手順3：連鎖律の式に代入する。
$$\frac{dz}{dt}=2xy\cdot 2+x^2\cdot 2t=4xy+2t{x}^2$$

手順4：$t=1$ のときの値を求める。 $t=1$ のとき $x=2\cdot 1+1=3,y=1^2=1$ なので
$$\frac{dz}{dt}=4\cdot 3\cdot 1+2\cdot 1\cdot 3^2=12+18=30$$

（確認）$z=(2t+1{)}^2{t}^2$ を直接微分すると $\frac{dz}{dt}=2(2t+1)\cdot 2\cdot t^2+(2t+1{)}^2\cdot 2t$ で、$t=1$ のとき $12+18=30$ となり一致する。

よって答えは $30$ である。

連鎖律より $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$。ここで $z_x=2xy$, $z_y=x^2$, $dx/dt=2$, $dy/dt=2t$。$t=1$ のとき $x=3$, $y=1$ なので、$z_x=6$, $z_y=9$, $dx/dt=2$, $dy/dt=2$。よって $dz/dt=6\cdot 2+9\cdot 2=12+18=30$。
検算：$z=(2t+1{)}^2{t}^2=(4t^2+4t+1)t^2=4t^4+4t^3+t^2$。$dz/dt=16t^3+12t^2+2t$ で、$t=1$ のとき $16+12+2=30$。一致する。