微分積分の問題

多変数の連鎖律
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
を使う。

手順 1：$z$ の偏導関数を求める。
$z=x^{2}y$ より
$$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy,\frac{\partial z}{\partial y}=x^2.$$

手順 2：$x,y$ を $t$ で微分する。
$$\frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=3t^2.$$

手順 3：連鎖律に代入する。
$$\frac{dz}{dt}=2xy\cdot 2t+x^2\cdot 3t^2.$$

手順 4：$t=1$ での値を求める。
$t=1$ のとき $x=1^2+1=2$、$y=1^3=1$ であり、$\frac{dx}{dt}=2$、$\frac{dy}{dt}=3$ である。
$\frac{\partial z}{\partial x}=2\cdot 2\cdot 1=4$、$\frac{\partial z}{\partial y}=2^2=4$ なので
$$\frac{dz}{dt}=4\cdot 2+4\cdot 3=8+12=20.$$

検算： $z$ を直接 $t$ で表すと
$$z=(t^2+1{)}^2{t}^3=(t^4+2t^2+1)t^3=t^7+2t^5+t^3$$
となる。よって $\frac{dz}{dt}=7t^6+10t^4+3t^2$ であり、$t=1$ を代入すると $7+10+3=20$ となって一致する。

したがって、答えは $20$ である。

連鎖律より $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$ である。ここで $\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$、$\frac{\partial z}{\partial y}=x^2$、$\frac{dx}{dt}=2t$、$\frac{dy}{dt}=3t^2$ となる。$t=1$ では $x=2,y=1$ なので、$\frac{dz}{dt}=2\cdot 2\cdot 1\cdot 2+4\cdot 3=8+12=20$。
検算：$z=(t^2+1{)}^2{t}^3=t^7+2t^5+t^3$ より $\frac{dz}{dt}=7t^6+10t^4+3t^2$。$t=1$ で $7+10+3=20$ となり一致する。