微分積分の問題

方針 $z=f(x,y)$ で、$x=x(t)$, $y=y(t)$ のとき、多変数の連鎖律
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
を使う。

手順1：偏導関数を求める。 $z=x^{2}y$ より
$$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy,\frac{\partial z}{\partial y}=x^2.$$

手順2：$x,y$ を $t$ で微分する。
$$\frac{dx}{dt}=1,\frac{dy}{dt}=2t.$$

手順3：連鎖律に代入する。
$$\frac{dz}{dt}=2xy\cdot 1+x^2\cdot 2t=2xy+2t{x}^2.$$

手順4：$t=1$ での値を求める。 $t=1$ のとき $x=1+1=2$, $y=1^2=1$ なので
$$\frac{dz}{dt}=2\cdot 2\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2^2=4+8=12.$$

確認 $z=(t+1{)}^2{t}^2$ を直接 $t$ で微分すると $\frac{dz}{dt}=2(t+1)t^2+2t(t+1{)}^2$ であり、$t=1$ を代入すると $4+8=12$ となって一致する。

よって答えは $12$ である。

連鎖律より $\frac{dz}{dt}=z_x{x}^{\prime }+z_y{y}^{\prime }$。ここで $z_x=2xy$、$z_y=x^2$、$x^{\prime }=1$、$y^{\prime }=2t$。$t=1$ のとき $x=2$、$y=1$ なので、$z_x=4$、$z_y=4$、$x^{\prime }=1$、$y^{\prime }=2$。よって $\frac{dz}{dt}=4\cdot 1+4\cdot 2=12$。
検算：$z=(t+1{)}^2{t}^2=t^4+2t^3+t^2$ より $dz/dt=4t^3+6t^2+2t$。$t=1$ で $4+6+2=12$。一致する。