微分積分の問題

方針　偏微分は「1 つの文字以外を定数とみなして、その文字で微分する」操作です。$x$ で偏微分するときは $y$ を定数、$y$ で偏微分するときは $x$ を定数とみなし、1 変数の多項式の微分 $(t^n{)}^{\prime }=n{t}^{n-1}$ と微分の線形性を使います。

$x$ についての偏導関数　$y$ を定数とみなすと、$y^2$ や $2y$ は係数、$-y^3$ は定数項です。
$$f_x(x,y)=y^2\cdot 3x^2+2y\cdot 1-0=3x^2{y}^2+2y.$$

$y$ についての偏導関数　$x$ を定数とみなすと、$x^3$ や $2x$ は係数です。
$$f_y(x,y)=x^3\cdot 2y+2x\cdot 1-3y^2=2x^{3}y+2x-3y^2.$$

点 $(1,2)$ を代入
$$f_x(1,2)=3\cdot 1^2\cdot 2^2+2\cdot 2=12+4=16,$$
$$f_y(1,2)=2\cdot 1^3\cdot 2+2\cdot 1-3\cdot 2^2=4+2-12=-6.$$

よって $(f_x(1,2),f_y(1,2))=(16,-6)$ です。

$f_x=3x^2{y}^2+2y$ より $f_x(1,2)=3\cdot 1\cdot 4+4=16$。
$f_y=2x^{3}y+2x-3y^2$ より $f_y(1,2)=2\cdot 1\cdot 2+2-3\cdot 4=4+2-12=-6$。
検算：$y=2$ に固定すると $f(x,2)=4x^3+4x-8$ で、微分すると $12x^2+4$、$x=1$ で 16。$x=1$ に固定すると $f(1,y)=y^2+2y-y^3$ で、微分すると $2y+2-3y^2$、$y=2$ で $4+2-12=-6$。よって答えは $(16,-6)$。