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微分積分の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学微分積分

2 変数関数
$f (x, y) = x^{3} - 3 x + y^{2} - 4 y (x, y は実数)$
は、ただ 1 つの点で極値をとる。その点の座標 $(x, y)$ を求めよ。

この問題で使うもの

偏微分と全微分（説明と入口の問題）
2 変数関数の極値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（34 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「2 変数関数の極値」の技能を使います。まず $f_{x} = 0, f_{y} = 0$ を連立して停留点を求め、次に 2 階の偏導関数で判定します。

ヒント 2

判定には $D = f_{xx} f_{y y} - (f_{x y})^{2}$ を使います。 $D > 0$ なら極値（ $f_{xx} > 0$ で極小、 $f_{xx} < 0$ で極大）、 $D < 0$ なら鞍点です。

ヒント 3

$f_{x} = 3 x^{2} - 3, f_{y} = 2 y - 4$ より停留点は $(1, 2)$ と $(- 1, 2)$ 。また $f_{xx} = 6 x, f_{x y} = 0, f_{y y} = 2$ なので $D = 12 x$ です。それぞれの点で $D$ の符号を調べましょう。

答えと解説

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(1, 2)

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解説を読む

手順 1：停留点を求める。

1 階の偏導関数は
$f_{x} = 3 x^{2} - 3, f_{y} = 2 y - 4$
です。 $f_{x} = 0, f_{y} = 0$ を同時に満たす点を求めます。
$3 x^{2} - 3 = 0 ⟺ x^{2} = 1 ⟺ x = \pm 1, 2 y - 4 = 0 ⟺ y = 2$
よって停留点は $(1, 2)$ と $(- 1, 2)$ の 2 つです。極値をとる点は停留点の中にあります。

手順 2：2 階の偏導関数を求める。
$f_{xx} = 6 x, f_{x y} = 0, f_{y y} = 2$
ヘッセ行列式（判別式）は
$D (x, y) = f_{xx} f_{y y} - (f_{x y})^{2} = 6 x \cdot 2 - 0^{2} = 12 x$
です。

手順 3：各停留点で判定する。

点 $(1, 2)$ ： $D = 12 > 0$ かつ $f_{xx} = 6 > 0$ なので、この点で $f$ は極小となる（極小値は $f (1, 2) = 1 - 3 + 4 - 8 = - 6$ ）。
点 $(- 1, 2)$ ： $D = - 12 < 0$ なので、この点は鞍点であり、極値をとらない。

したがって、 $f$ が極値をとる点はただ 1 つで、その座標は
$(x, y) = (1, 2)$
です。

別解

$f_{x} = 3 x^{2} - 3 = 0$ より $x = \pm 1$ 、 $f_{y} = 2 y - 4 = 0$ より $y = 2$ 。よって停留点は $(1, 2)$ と $(- 1, 2)$ 。

ヘッセ行列は $f_{xx} = 6 x, f_{y y} = 2, f_{x y} = 0$ なので、判別式は $D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2} = 12 x$ 。

$(1, 2)$ : $D = 12 > 0$ かつ $f_{xx} = 6 > 0$ なので極小。
$(- 1, 2)$ : $D = - 12 < 0$ なので鞍点で、極値ではない。

したがって、極値をとる点は $(1, 2)$ のみで、極小値は $f (1, 2) = 1 - 3 + 4 - 8 = - 6$ 。

検算として、 $(- 1, 2)$ では $y = 2$ に固定すると $x^{3} - 3 x - 4$ が $x = - 1$ で極大、 $x = - 1$ に固定すると $y^{2} - 4 y$ が $y = 2$ で極小となり、方向によって増減が異なる。これは鞍点と一致する。

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