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微分積分の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学微分積分

2 変数関数
$f (x, y) = x^{3} - 6 x y + 3 y^{2} + 1 (x, y は実数)$
はただ 1 つの点で極小となる。その極小値を求めよ。

この問題で使うもの

2 変数関数の極値（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（34 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $f_{x} = 0$ , $f_{y} = 0$ を連立して停留点を求めましょう。

ヒント 2

$f_{y} = - 6 x + 6 y = 0$ から $y = x$ がわかります。停留点では $f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2}$ の符号で極値かどうかを判定します。

ヒント 3

停留点は $(0, 0)$ と $(2, 2)$ です。 $f_{xx} = 6 x$ , $f_{x y} = - 6$ , $f_{y y} = 6$ を使って、どちらが極小か調べましょう。

答えと解説

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- 3

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停留点
$f_{x} = 3 x^{2} - 6 y, f_{y} = - 6 x + 6 y .$
$f_{y} = 0$ より $y = x$ 。これを $f_{x} = 0$ に代入すると $3 x^{2} - 6 x = 0$ 、すなわち $3 x (x - 2) = 0$ より $x = 0, 2$ 。よって停留点は $(0, 0)$ と $(2, 2)$ である。

2 階偏導関数
$f_{xx} = 6 x, f_{x y} = - 6, f_{y y} = 6$
より、判別式は $H (x, y) = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2} = 36 x - 36$ 。

$(0, 0)$ : $H = - 36 < 0$ なので極値をとらない（鞍点）。
$(2, 2)$ : $H = 72 - 36 = 36 > 0$ かつ $f_{xx} = 12 > 0$ なので極小。

極小値
$f (2, 2) = 8 - 24 + 12 + 1 = - 3.$

別解

$f_{x} = 3 x^{2} - 6 y$ , $f_{y} = - 6 x + 6 y$ 。 $f_{y} = 0$ より $y = x$ 、 $f_{x} = 0$ に代入して $3 x^{2} - 6 x = 0$ より $x = 0, 2$ 。停留点は $(0, 0)$ , $(2, 2)$ 。
ヘッセ行列: $f_{xx} = 6 x$ , $f_{x y} = - 6$ , $f_{y y} = 6$ 、判別量 $D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2} = 36 x - 36$ 。
$(0, 0)$ : $D = - 36 < 0$ で鞍点。 $(2, 2)$ : $D = 36 > 0$ , $f_{xx} = 12 > 0$ で極小。
極小値 $f (2, 2) = 8 - 24 + 12 + 1 = - 3$ 。

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