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微分積分の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学微分積分

$x, y$ を実数とし、2 変数関数
$f (x, y) = x^{3} y^{2} - 4 x y + y^{3}$
を考える。点 $(1, 2)$ における偏微分係数 $f_{x} (1, 2)$ と $f_{y} (1, 2)$ を求め、組 $(f_{x} (1, 2), f_{y} (1, 2))$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

偏微分と全微分（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「偏微分」の技能を使います。 $f_{x}$ は $y$ を定数とみなして $x$ で微分し、 $f_{y}$ は $x$ を定数とみなして $y$ で微分します。

ヒント 2

$x$ で微分するとき $x^{3} y^{2}$ の $y^{2}$ はただの係数なので $(x^{3} y^{2})_{x} = 3 x^{2} y^{2}$ 、 $y^{3}$ は定数なので $0$ になります。 $y$ で微分するときも同様に考えます。

ヒント 3

$f_{x} (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 y$ 、 $f_{y} (x, y) = 2 x^{3} y - 4 x + 3 y^{2}$ です。あとは $(x, y) = (1, 2)$ を代入します。

答えと解説

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(4, 12)

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解説を読む

方針：偏微分では、微分する変数以外の文字を定数とみなして、1 変数の多項式の微分と同じように計算します。

$x$ についての偏微分： $y$ を定数とみなして $x$ で微分します。
- $x^{3} y^{2}$ は $y^{2}$ が定数の係数なので、 $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ より $3 x^{2} y^{2}$
- $- 4 x y$ は $- 4 y$ が定数の係数なので、 $- 4 y$
- $y^{3}$ は $x$ を含まない定数なので、 $0$

よって
$f_{x} (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 y$
$(x, y) = (1, 2)$ を代入すると
$f_{x} (1, 2) = 3 \cdot 1^{2} \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4$

$y$ についての偏微分： $x$ を定数とみなして $y$ で微分します。
- $x^{3} y^{2}$ は $x^{3}$ が定数の係数なので、 $(y^{2})^{'} = 2 y$ より $2 x^{3} y$
- $- 4 x y$ は $- 4 x$ が定数の係数なので、 $- 4 x$
- $y^{3}$ は $3 y^{2}$

よって
$f_{y} (x, y) = 2 x^{3} y - 4 x + 3 y^{2}$
$(x, y) = (1, 2)$ を代入すると
$f_{y} (1, 2) = 2 \cdot 1^{3} \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 3 \cdot 2^{2} = 4 - 4 + 12 = 12$

したがって、求める組は $(4, 12)$ です。

別解

$f_{x} = 3 x^{2} y^{2} - 4 y$ なので、 $f_{x} (1, 2) = 3 \cdot 1 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$ 。
$f_{y} = 2 x^{3} y - 4 x + 3 y^{2}$ なので、 $f_{y} (1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 - 4 + 3 \cdot 4 = 4 - 4 + 12 = 12$ 。
検算： $y = 2$ を固定すると $f (x, 2) = 4 x^{3} - 8 x + 8$ で、その $x$ 微分は $12 x^{2} - 8$ となり、 $x = 1$ で 4。 $x = 1$ を固定すると $f (1, y) = y^{2} - 4 y + y^{3}$ で、その $y$ 微分は $2 y - 4 + 3 y^{2}$ となり、 $y = 2$ で $4 - 4 + 12 = 12$ 。よって答えは $(4, 12)$ 。

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