微分積分の問題

マクローリン展開では、$f(x)$ を
$$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+R_4(x)$$
の形に表します。最後の $R_4(x)$ が剰余項です。そこで、まず $x=0$ での微分係数を 3 次まで求めます。

手順 1：導関数を順に求める。
$$f(x)=\log (1+x),f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}=(1+x{)}^{-1},$$
$$f^{\prime \prime }(x)=-(1+x{)}^{-2},f^{\prime \prime \prime }(x)=2(1+x{)}^{-3}.$$

手順 2：$x=0$ を代入する。
$$f(0)=\log 1=0,f^{\prime }(0)=1,f^{\prime \prime }(0)=-1,f^{\prime \prime \prime }(0)=2.$$

手順 3：公式に当てはめる。
$$P_3(x)=0+\frac{1}{1!}x+\frac{-1}{2!}{x}^2+\frac{2}{3!}{x}^3=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$

剰余項の意味： $f^{(4)}(x)=-6(1+x{)}^{-4}$ です。ラグランジュの剰余項を使うと、$0$ と $x$ の間のある数 $c$ を用いて
$$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+R_4(x),R_4(x)=\frac{f^{(4)}(c)}{4!}{x}^4=-\frac{x^4}{4(1+c{)}^4}$$
と書けます。$R_4(x)$ は「$P_3(x)$ で近似したときの誤差」を表し、$x$ が $0$ に近いときは $x^4$ 程度の小ささになります。

よって
$$P_3(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$

$f(x)=\log (1+x)$ を順に微分する。$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}$、$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2}$、$f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{2}{(1+x{)}^3}$。
$x=0$ での値は $f(0)=0$、$f^{\prime }(0)=1$、$f^{\prime \prime }(0)=-1$、$f^{\prime \prime \prime }(0)=2$。
よって $P_3(x)=0+x+\frac{-1}{2!}{x}^2+\frac{2}{3!}{x}^3=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$。
検算：既知の級数 $\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$ の 3 次までと一致する。